Algebra Beispiele

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{16}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} - \frac{16}{3} = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $15$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Um $\frac{{(x + 2)}^{2}}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{{(x - 2)}^{2}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{{(x + 2)}^{2}}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{15} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\frac{{(x - 2)}^{2}}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{15} + \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{15} + \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$15 (\frac{(x + 2) (x + 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$15 (\frac{(x (x + 2) + 2 (x + 2)) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$15 (\frac{(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$15 (\frac{(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$15 (\frac{(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$15 (\frac{(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$15 (\frac{(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$15 (\frac{(x^{2} + 4 x + 4) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$15 (\frac{x^{2} \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 4 \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$15 (\frac{3 \cdot x^{2} + 4 x \cdot 3 + 4 \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$15 (\frac{3 \cdot x^{2} + 12 x + 4 \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$15 (\frac{3 \cdot x^{2} + 12 x + 12 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.6

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x - 2) (x - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.7

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x (x - 2) - 2 (x - 2)) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.8.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.8.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.8.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} - 4 x + 4) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.9

Wende das Distributivgesetz an.

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + x^{2} \cdot 5 - 4 x \cdot 5 + 4 \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.10

Vereinfache.

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Schritt 2.5.10.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + 5 \cdot x^{2} - 4 x \cdot 5 + 4 \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.10.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + 5 \cdot x^{2} - 20 x + 4 \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.10.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + 5 \cdot x^{2} - 20 x + 20}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.11

Addiere $3 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$15 (\frac{8 x^{2} + 12 x + 12 - 20 x + 20}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.12

Subtrahiere $20 x$ von $12 x$ .

$15 (\frac{8 x^{2} - 8 x + 12 + 20}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.13

Addiere $12$ und $20$ .

$15 (\frac{8 x^{2} - 8 x + 32}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.14

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2} - 8 x + 32$ heraus.

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Schritt 2.5.14.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$15 (\frac{8 (x^{2}) - 8 x + 32}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.14.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$15 (\frac{8 (x^{2}) + 8 (- x) + 32}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.14.3

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$15 (\frac{8 (x^{2}) + 8 (- x) + 8 (4)}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.14.4

Faktorisiere $8$ aus $8 (x^{2}) + 8 (- x)$ heraus.

$15 (\frac{8 (x^{2} - x) + 8 (4)}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.5.14.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (x^{2} - x) + 8 (4)$ heraus.

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Schritt 2.6

Um $- \frac{16}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5}) = 0$

Schritt 2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5}) = 0$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16 \cdot 5}{15}) = 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4) - 16 \cdot 5}{15}) = 0$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4) - 16 \cdot 5}{15}) = 0$

Schritt 2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$8 (x^{2} - x + 4) - 16 \cdot 5 = 0$

Schritt 2.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} + 8 (- x) + 8 \cdot 4 - 16 \cdot 5 = 0$

Schritt 2.10.2

Vereinfache.

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Schritt 2.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$8 x^{2} - 8 x + 8 \cdot 4 - 16 \cdot 5 = 0$

Schritt 2.10.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$8 x^{2} - 8 x + 32 - 16 \cdot 5 = 0$

Schritt 2.10.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$8 x^{2} - 8 x + 32 - 80 = 0$

Schritt 2.11

Subtrahiere $80$ von $32$ .

$8 x^{2} - 8 x - 48 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 8$ , $b = - 8$ und $c = - 48$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 48)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot - 48}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot - 48$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot - 48}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 48$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 1536}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.3

Addiere $64$ und $1536$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $1600$ als $40^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{8 \pm 40}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{8 \pm 40}{16}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 40}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm 5}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3, - 2$