Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2} - 12 x} \div \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{- x^{2} + 5 x - 6}{2 x + 4}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{- x^{2} + 5 x - 6}{2 x + 4}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{- x^{2} + 5 x - 6}{2 x + 4}$

Schritt 3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2} - 12 x$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x) - 12 x} \cdot \frac{- x^{2} + 5 x - 6}{2 x + 4}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 12 x$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x) + 4 x (- 3)} \cdot \frac{- x^{2} + 5 x - 6}{2 x + 4}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x) + 4 x (- 3)$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{- x^{2} + 5 x - 6}{2 x + 4}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 6 = 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{- x^{2} + 5 (x) - 6}{2 x + 4}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $5$ um als $2$ plus $3$

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{- x^{2} + (2 + 3) x - 6}{2 x + 4}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{- x^{2} + 2 x + 3 x - 6}{2 x + 4}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{(- x^{2} + 2 x) + 3 x - 6}{2 x + 4}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{x (- x + 2) - 3 (- x + 2)}{2 x + 4}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{(- x + 2) (x - 3)}{2 x + 4}$

Schritt 5

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{(- x + 2) (x - 3)}{2 (x) + 4}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{(- x + 2) (x - 3)}{2 x + 2 \cdot 2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{(- x + 2) (x - 3)}{2 (x + 2)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $2 (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{(- x + 2) (x - 3)}{(x + 2) \cdot 2}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{(- x + 2) (x - 3)}{(x + 2) \cdot 2}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 2}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{(- x + 2) (x - 3)}{2}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $4 x (x - 3)$ heraus.

$\frac{x - 2}{(x - 3) (4 x)} \cdot \frac{(- x + 2) (x - 3)}{2}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x - 3$ aus $(- x + 2) (x - 3)$ heraus.

$\frac{x - 2}{(x - 3) (4 x)} \cdot \frac{(x - 3) (- x + 2)}{2}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 2}{(x - 3) (4 x)} \cdot \frac{(x - 3) (- x + 2)}{2}$

Schritt 7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 2}{4 x} \cdot \frac{- x + 2}{2}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{x - 2}{4 x}$ mit $\frac{- x + 2}{2}$ .

$\frac{(x - 2) (- x + 2)}{4 x \cdot 2}$

Schritt 9

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{(- 1 (- x) - 2) (- x + 2)}{4 x \cdot 2}$

Schritt 10

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (2)) (- x + 2)}{4 x \cdot 2}$

Schritt 11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- 1 (- x + 2) (- x + 2)}{4 x \cdot 2}$

Schritt 12

Potenziere $- x + 2$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(- x + 2)}^{1} (- x + 2))}{4 x \cdot 2}$

Schritt 13

Potenziere $- x + 2$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(- x + 2)}^{1} {(- x + 2)}^{1})}{4 x \cdot 2}$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1 {(- x + 2)}^{1 + 1}}{4 x \cdot 2}$

Schritt 15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1 {(- x + 2)}^{2}}{4 x \cdot 2}$

Schritt 16

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{- 1 {(- x + 2)}^{2}}{8 x}$

Schritt 17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{{(- x + 2)}^{2}}{8 x}$