Algebra Beispiele

$\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{25 a - 9 a^{3}} = \frac{3}{3 a + 5}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $a$ aus $25 a - 9 a^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $a$ aus $25 a$ heraus.

$\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a \cdot 25 - 9 a^{3}} = \frac{3}{3 a + 5}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $a$ aus $- 9 a^{3}$ heraus.

$\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a \cdot 25 + a (- 9 a^{2})} = \frac{3}{3 a + 5}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot 25 + a (- 9 a^{2})$ heraus.

$\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a \cdot (25 - 9 a^{2})} = \frac{3}{3 a + 5}$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $a$ mit $25 - 9 a^{2}$ .

$\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (25 - 9 a^{2})} = \frac{3}{3 a + 5}$

Schritt 1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5^{2} - 9 a^{2})} = \frac{3}{3 a + 5}$

Schritt 1.3

Schreibe $9 a^{2}$ als ${(3 a)}^{2}$ um.

$\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5^{2} - {(3 a)}^{2})} = \frac{3}{3 a + 5}$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = 3 a$ .

$\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a ((5 + 3 a) (5 - (3 a)))} = \frac{3}{3 a + 5}$

Schritt 1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a ((5 + 3 a) (5 - 3 a))} = \frac{3}{3 a + 5}$

Schritt 1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} = \frac{3}{3 a + 5}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 a - 5, a (5 + 3 a) (5 - 3 a), 3 a + 5$

Schritt 2.2

Since $3 a - 5, a (5 + 3 a) (5 - 3 a), 3 a + 5$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Schritte, um das kgV für $3 a - 5, a (5 + 3 a) (5 - 3 a), 3 a + 5$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $a^{1}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $3 a - 5, 5 + 3 a, 5 - 3 a, 3 a + 5$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.6

Der Teiler von $a^{1}$ ist $a$ selbst.

$a^{1} = a$

$a$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Das kgV von $a^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$a$

Schritt 2.8

Der Teiler von $3 a - 5$ ist $3 a - 5$ selbst.

$(3 a - 5) = 3 a - 5$

$(3 a - 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Der Teiler von $5 + 3 a$ ist $5 + 3 a$ selbst.

$(5 + 3 a) = 5 + 3 a$

$(5 + 3 a)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.10

Der Teiler von $5 - 3 a$ ist $5 - 3 a$ selbst.

$(5 - 3 a) = 5 - 3 a$

$(5 - 3 a)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.11

Der Teiler von $3 a + 5$ ist $3 a + 5$ selbst.

$(3 a + 5) = 3 a + 5$

$(3 a + 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.12

Das kgV von $3 a - 5, 5 + 3 a, 5 - 3 a, 3 a + 5$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)$

Schritt 2.13

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} = \frac{3}{3 a + 5}$ mit $a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} = \frac{3}{3 a + 5}$ mit $a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)$ .

$\frac{4}{3 a - 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 a - 5$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $3 a - 5$ aus $a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)$ heraus.

$\frac{4}{3 a - 5} ((3 a - 5) ((a (5 + 3 a)) (5 - 3 a))) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3 a - 5} ((3 a - 5) ((a (5 + 3 a)) (5 - 3 a))) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 ((a (5 + 3 a)) (5 - 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 ((a \cdot 5 + a (3 a)) (5 - 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $a$ .

$4 ((5 \cdot a + a (3 a)) (5 - 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 ((5 \cdot a + 3 a \cdot a) (5 - 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.5.1

Bewege $a$ .

$4 ((5 a + 3 (a \cdot a)) (5 - 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$4 ((5 a + 3 a^{2}) (5 - 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere $(5 a + 3 a^{2}) (5 - 3 a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (5 a (5 - 3 a) + 3 a^{2} (5 - 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (5 a \cdot 5 + 5 a (- 3 a) + 3 a^{2} (5 - 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (5 a \cdot 5 + 5 a (- 3 a) + 3 a^{2} \cdot 5 + 3 a^{2} (- 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.7.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$4 (25 a + 5 a (- 3 a) + 3 a^{2} \cdot 5 + 3 a^{2} (- 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 (25 a + 5 \cdot - 3 a \cdot a + 3 a^{2} \cdot 5 + 3 a^{2} (- 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.1.3

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.7.1.3.1

Bewege $a$ .

$4 (25 a + 5 \cdot - 3 (a \cdot a) + 3 a^{2} \cdot 5 + 3 a^{2} (- 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.1.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$4 (25 a + 5 \cdot - 3 a^{2} + 3 a^{2} \cdot 5 + 3 a^{2} (- 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$4 (25 a - 15 a^{2} + 3 a^{2} \cdot 5 + 3 a^{2} (- 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$4 (25 a - 15 a^{2} + 15 a^{2} + 3 a^{2} (- 3 a)) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 (25 a - 15 a^{2} + 15 a^{2} + 3 \cdot - 3 a^{2} a) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.1.7

Multipliziere $a^{2}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.7.1.7.1

Bewege $a$ .

$4 (25 a - 15 a^{2} + 15 a^{2} + 3 \cdot - 3 (a \cdot a^{2})) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.1.7.2

Mutltipliziere $a$ mit $a^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.7.1.7.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$4 (25 a - 15 a^{2} + 15 a^{2} + 3 \cdot - 3 (a^{1} a^{2})) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (25 a - 15 a^{2} + 15 a^{2} + 3 \cdot - 3 a^{1 + 2}) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.1.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 (25 a - 15 a^{2} + 15 a^{2} + 3 \cdot - 3 a^{3}) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$4 (25 a - 15 a^{2} + 15 a^{2} - 9 a^{3}) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.2

Addiere $- 15 a^{2}$ und $15 a^{2}$ .

$4 (25 a + 0 - 9 a^{3}) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.7.3

Addiere $25 a$ und $0$ .

$4 (25 a - 9 a^{3}) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (25 a) + 4 (- 9 a^{3}) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.9

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$100 a + 4 (- 9 a^{3}) + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.10

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$100 a - 36 a^{3} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(a (5 + 3 a)) (5 - 3 a)$ .

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Schritt 3.2.1.11.1

Faktorisiere $(a (5 + 3 a)) (5 - 3 a)$ aus $a (5 + 3 a) (5 - 3 a)$ heraus.

$100 a - 36 a^{3} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a) (1)} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.11.2

Faktorisiere $(a (5 + 3 a)) (5 - 3 a)$ aus $a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a)$ heraus.

$100 a - 36 a^{3} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a) (1)} (a (5 + 3 a) (5 - 3 a) (3 a - 5)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$100 a - 36 a^{3} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{a (5 + 3 a) (5 - 3 a) \cdot 1} (a (5 + 3 a) (5 - 3 a) (3 a - 5)) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.11.4

Forme den Ausdruck um.

$100 a - 36 a^{3} + (3 a^{2} + 38 a + 36) (3 a - 5) = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.12

Multipliziere $(3 a^{2} + 38 a + 36) (3 a - 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$100 a - 36 a^{3} + 3 a^{2} (3 a) + 3 a^{2} \cdot - 5 + 38 a (3 a) + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.13.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$100 a - 36 a^{3} + 3 \cdot 3 a^{2} a + 3 a^{2} \cdot - 5 + 38 a (3 a) + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.2

Multipliziere $a^{2}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.13.2.1

Bewege $a$ .

$100 a - 36 a^{3} + 3 \cdot 3 (a \cdot a^{2}) + 3 a^{2} \cdot - 5 + 38 a (3 a) + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.13.2.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$100 a - 36 a^{3} + 3 \cdot 3 (a^{1} a^{2}) + 3 a^{2} \cdot - 5 + 38 a (3 a) + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$100 a - 36 a^{3} + 3 \cdot 3 a^{1 + 2} + 3 a^{2} \cdot - 5 + 38 a (3 a) + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$100 a - 36 a^{3} + 3 \cdot 3 a^{3} + 3 a^{2} \cdot - 5 + 38 a (3 a) + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$100 a - 36 a^{3} + 9 a^{3} + 3 a^{2} \cdot - 5 + 38 a (3 a) + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$100 a - 36 a^{3} + 9 a^{3} - 15 a^{2} + 38 a (3 a) + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$100 a - 36 a^{3} + 9 a^{3} - 15 a^{2} + 38 \cdot 3 a \cdot a + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.6

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.13.6.1

Bewege $a$ .

$100 a - 36 a^{3} + 9 a^{3} - 15 a^{2} + 38 \cdot 3 (a \cdot a) + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.6.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$100 a - 36 a^{3} + 9 a^{3} - 15 a^{2} + 38 \cdot 3 a^{2} + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.7

Mutltipliziere $38$ mit $3$ .

$100 a - 36 a^{3} + 9 a^{3} - 15 a^{2} + 114 a^{2} + 38 a \cdot - 5 + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $38$ .

$100 a - 36 a^{3} + 9 a^{3} - 15 a^{2} + 114 a^{2} - 190 a + 36 (3 a) + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.9

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$100 a - 36 a^{3} + 9 a^{3} - 15 a^{2} + 114 a^{2} - 190 a + 108 a + 36 \cdot - 5 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.13.10

Mutltipliziere $36$ mit $- 5$ .

$100 a - 36 a^{3} + 9 a^{3} - 15 a^{2} + 114 a^{2} - 190 a + 108 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.14

Addiere $- 15 a^{2}$ und $114 a^{2}$ .

$100 a - 36 a^{3} + 9 a^{3} + 99 a^{2} - 190 a + 108 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.1.15

Addiere $- 190 a$ und $108 a$ .

$100 a - 36 a^{3} + 9 a^{3} + 99 a^{2} - 82 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $82 a$ von $100 a$ .

$- 36 a^{3} + 9 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $- 36 a^{3}$ und $9 a^{3}$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (a (3 a - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((a (3 a) + a \cdot - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.1.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((3 a \cdot a + a \cdot - 5) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.1.2.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((3 a \cdot a - 5 \cdot a) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.3.1

Bewege $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((3 (a \cdot a) - 5 \cdot a) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.1.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((3 a^{2} - 5 \cdot a) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((3 a^{2} - 5 a) (5 + 3 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $(3 a^{2} - 5 a) (5 + 3 a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((3 a^{2} (5 + 3 a) - 5 a (5 + 3 a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((3 a^{2} \cdot 5 + 3 a^{2} (3 a) - 5 a (5 + 3 a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((3 a^{2} \cdot 5 + 3 a^{2} (3 a) - 5 a \cdot 5 - 5 a (3 a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 3 a^{2} (3 a) - 5 a \cdot 5 - 5 a (3 a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 3 \cdot 3 a^{2} a - 5 a \cdot 5 - 5 a (3 a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.1.3

Multipliziere $a^{2}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.3.1

Bewege $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 3 \cdot 3 (a \cdot a^{2}) - 5 a \cdot 5 - 5 a (3 a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.1.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $a^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.3.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 3 \cdot 3 (a^{1} a^{2}) - 5 a \cdot 5 - 5 a (3 a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 3 \cdot 3 a^{1 + 2} - 5 a \cdot 5 - 5 a (3 a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 3 \cdot 3 a^{3} - 5 a \cdot 5 - 5 a (3 a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 9 a^{3} - 5 a \cdot 5 - 5 a (3 a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 9 a^{3} - 25 a - 5 a (3 a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 9 a^{3} - 25 a - 5 \cdot 3 a \cdot a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.1.7

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.7.1

Bewege $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 9 a^{3} - 25 a - 5 \cdot 3 (a \cdot a)) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.1.7.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 9 a^{3} - 25 a - 5 \cdot 3 a^{2}) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.1.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((15 a^{2} + 9 a^{3} - 25 a - 15 a^{2}) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.2

Subtrahiere $15 a^{2}$ von $15 a^{2}$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((9 a^{3} - 25 a + 0) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.3.3

Addiere $9 a^{3}$ und $0$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} ((9 a^{3} - 25 a) (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.4

Multipliziere $(9 a^{3} - 25 a) (5 - 3 a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (9 a^{3} (5 - 3 a) - 25 a (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (9 a^{3} \cdot 5 + 9 a^{3} (- 3 a) - 25 a (5 - 3 a))$

Schritt 3.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (9 a^{3} \cdot 5 + 9 a^{3} (- 3 a) - 25 a \cdot 5 - 25 a (- 3 a))$

Schritt 3.3.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} + 9 a^{3} (- 3 a) - 25 a \cdot 5 - 25 a (- 3 a))$

Schritt 3.3.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} + 9 \cdot - 3 a^{3} a - 25 a \cdot 5 - 25 a (- 3 a))$

Schritt 3.3.5.1.3

Multipliziere $a^{3}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1.3.1

Bewege $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} + 9 \cdot - 3 (a \cdot a^{3}) - 25 a \cdot 5 - 25 a (- 3 a))$

Schritt 3.3.5.1.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $a^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1.3.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} + 9 \cdot - 3 (a^{1} a^{3}) - 25 a \cdot 5 - 25 a (- 3 a))$

Schritt 3.3.5.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} + 9 \cdot - 3 a^{1 + 3} - 25 a \cdot 5 - 25 a (- 3 a))$

Schritt 3.3.5.1.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} + 9 \cdot - 3 a^{4} - 25 a \cdot 5 - 25 a (- 3 a))$

Schritt 3.3.5.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} - 27 a^{4} - 25 a \cdot 5 - 25 a (- 3 a))$

Schritt 3.3.5.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 25$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} - 27 a^{4} - 125 a - 25 a (- 3 a))$

Schritt 3.3.5.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} - 27 a^{4} - 125 a - 25 \cdot - 3 a \cdot a)$

Schritt 3.3.5.1.7

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1.7.1

Bewege $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} - 27 a^{4} - 125 a - 25 \cdot - 3 (a \cdot a))$

Schritt 3.3.5.1.7.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} - 27 a^{4} - 125 a - 25 \cdot - 3 a^{2})$

Schritt 3.3.5.1.8

Mutltipliziere $- 25$ mit $- 3$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3}{3 a + 5} (45 a^{3} - 27 a^{4} - 125 a + 75 a^{2})$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $\frac{3}{3 a + 5}$ mit $45 a^{3} - 27 a^{4} - 125 a + 75 a^{2}$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (45 a^{3} - 27 a^{4} - 125 a + 75 a^{2})}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1

Faktorisiere $a$ aus $45 a^{3} - 27 a^{4} - 125 a + 75 a^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1.1

Faktorisiere $a$ aus $45 a^{3}$ heraus.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (45 a^{2}) - 27 a^{4} - 125 a + 75 a^{2})}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.1.2

Faktorisiere $a$ aus $- 27 a^{4}$ heraus.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (45 a^{2}) + a (- 27 a^{3}) - 125 a + 75 a^{2})}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.1.3

Faktorisiere $a$ aus $- 125 a$ heraus.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (45 a^{2}) + a (- 27 a^{3}) + a \cdot - 125 + 75 a^{2})}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.1.4

Faktorisiere $a$ aus $75 a^{2}$ heraus.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (45 a^{2}) + a (- 27 a^{3}) + a \cdot - 125 + a (75 a))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.1.5

Faktorisiere $a$ aus $a (45 a^{2}) + a (- 27 a^{3})$ heraus.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (45 a^{2} - 27 a^{3}) + a \cdot - 125 + a (75 a))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.1.6

Faktorisiere $a$ aus $a (45 a^{2} - 27 a^{3}) + a \cdot - 125$ heraus.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (45 a^{2} - 27 a^{3} - 125) + a (75 a))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.1.7

Faktorisiere $a$ aus $a (45 a^{2} - 27 a^{3} - 125) + a (75 a)$ heraus.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (45 a^{2} - 27 a^{3} - 125 + 75 a))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.2

Stelle die Terme um.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (- 27 a^{3} + 45 a^{2} + 75 a - 125))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a ((- 27 a^{3} + 45 a^{2}) + 75 a - 125))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (9 a^{2} (- 3 a + 5) - 25 (- 3 a + 5)))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 a + 5$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a ((- 3 a + 5) (9 a^{2} - 25)))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.5

Schreibe $9 a^{2}$ als ${(3 a)}^{2}$ um.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a ((- 3 a + 5) ({(3 a)}^{2} - 25)))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.6

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a ((- 3 a + 5) ({(3 a)}^{2} - 5^{2})))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 a$ und $b = 5$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a ((- 3 a + 5) (3 a + 5) (3 a - 5)))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.6.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 a$ heraus.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a ((- (3 a) + 5) (3 a + 5) (3 a - 5)))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.8.2

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a ((- (3 a) - 1 (- 5)) (3 a + 5) (3 a - 5)))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 a) - 1 (- 5)$ heraus.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (- (3 a - 5) (3 a + 5) (3 a - 5)))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.8.4

Schreibe $- (3 a - 5)$ als $- 1 (3 a - 5)$ um.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (- 1 (3 a - 5) (3 a + 5) (3 a - 5)))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.8.5

Potenziere $3 a - 5$ mit $1$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (- 1 ({(3 a - 5)}^{1} (3 a - 5)) (3 a + 5)))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.8.6

Potenziere $3 a - 5$ mit $1$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (- 1 ({(3 a - 5)}^{1} {(3 a - 5)}^{1}) (3 a + 5)))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.8.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (- 1 {(3 a - 5)}^{1 + 1} (3 a + 5)))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.8.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a (- 1 {(3 a - 5)}^{2} (3 a + 5)))}{3 a + 5}$

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 (a \cdot - 1 {(3 a - 5)}^{2} (3 a + 5))}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.9

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{3 \cdot - 1 a {(3 a - 5)}^{2} (3 a + 5)}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.6.10

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{- 3 a {(3 a - 5)}^{2} (3 a + 5)}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 a + 5$ .

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Schritt 3.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = \frac{- 3 a {(3 a - 5)}^{2} (3 a + 5)}{3 a + 5}$

Schritt 3.3.7.2

Dividiere $- 3 a {(3 a - 5)}^{2}$ durch $1$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a {(3 a - 5)}^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache $- 3 a {(3 a - 5)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = 0 + 0 - 3 a {(3 a - 5)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Schreibe ${(3 a - 5)}^{2}$ als $(3 a - 5) (3 a - 5)$ um.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a ((3 a - 5) (3 a - 5))$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $(3 a - 5) (3 a - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (3 a (3 a - 5) - 5 (3 a - 5))$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (3 a (3 a) + 3 a \cdot - 5 - 5 (3 a - 5))$

Schritt 4.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (3 a (3 a) + 3 a \cdot - 5 - 5 (3 a) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 4.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (3 \cdot 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 5 - 5 (3 a) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 4.1.4.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.1.2.1

Bewege $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (3 \cdot 3 (a \cdot a) + 3 a \cdot - 5 - 5 (3 a) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 4.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (3 \cdot 3 a^{2} + 3 a \cdot - 5 - 5 (3 a) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 4.1.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (9 a^{2} + 3 a \cdot - 5 - 5 (3 a) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 4.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (9 a^{2} - 15 a - 5 (3 a) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 4.1.4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (9 a^{2} - 15 a - 15 a - 5 \cdot - 5)$

Schritt 4.1.4.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (9 a^{2} - 15 a - 15 a + 25)$

Schritt 4.1.4.2

Subtrahiere $15 a$ von $- 15 a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (9 a^{2} - 30 a + 25)$

Schritt 4.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 a (9 a^{2}) - 3 a (- 30 a) - 3 a \cdot 25$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 \cdot 9 a \cdot a^{2} - 3 a (- 30 a) - 3 a \cdot 25$

Schritt 4.1.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 \cdot 9 a \cdot a^{2} - 3 \cdot - 30 a \cdot a - 3 a \cdot 25$

Schritt 4.1.6.3

Mutltipliziere $25$ mit $- 3$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 \cdot 9 a \cdot a^{2} - 3 \cdot - 30 a \cdot a - 75 a$

Schritt 4.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.7.1

Multipliziere $a$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.7.1.1

Bewege $a^{2}$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 \cdot 9 (a^{2} a) - 3 \cdot - 30 a \cdot a - 75 a$

Schritt 4.1.7.1.2

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $a$ .

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Schritt 4.1.7.1.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 \cdot 9 (a^{2} a^{1}) - 3 \cdot - 30 a \cdot a - 75 a$

Schritt 4.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 \cdot 9 a^{2 + 1} - 3 \cdot - 30 a \cdot a - 75 a$

Schritt 4.1.7.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 3 \cdot 9 a^{3} - 3 \cdot - 30 a \cdot a - 75 a$

Schritt 4.1.7.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 27 a^{3} - 3 \cdot - 30 a \cdot a - 75 a$

Schritt 4.1.7.3

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.7.3.1

Bewege $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 27 a^{3} - 3 \cdot - 30 (a \cdot a) - 75 a$

Schritt 4.1.7.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 27 a^{3} - 3 \cdot - 30 a^{2} - 75 a$

Schritt 4.1.7.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 30$ .

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 = - 27 a^{3} + 90 a^{2} - 75 a$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $27 a^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 + 27 a^{3} = 90 a^{2} - 75 a$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $90 a^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 + 27 a^{3} - 90 a^{2} = - 75 a$

Schritt 4.2.3

Addiere $75 a$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 + 27 a^{3} - 90 a^{2} + 75 a = 0$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 27 a^{3} + 99 a^{2} + 18 a - 180 + 27 a^{3} - 90 a^{2} + 75 a$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 27 a^{3}$ und $27 a^{3}$ .

$99 a^{2} + 18 a - 180 + 0 - 90 a^{2} + 75 a = 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $99 a^{2} + 18 a - 180$ und $0$ .

$99 a^{2} + 18 a - 180 - 90 a^{2} + 75 a = 0$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere $90 a^{2}$ von $99 a^{2}$ .

$9 a^{2} + 18 a - 180 + 75 a = 0$

Schritt 4.2.6

Addiere $18 a$ und $75 a$ .

$9 a^{2} + 93 a - 180 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9 a^{2} + 93 a - 180$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 a^{2}$ heraus.

$3 (3 a^{2}) + 93 a - 180 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $93 a$ heraus.

$3 (3 a^{2}) + 3 (31 a) - 180 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 180$ heraus.

$3 (3 a^{2}) + 3 (31 a) + 3 (- 60) = 0$

Schritt 4.3.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 a^{2}) + 3 (31 a)$ heraus.

$3 (3 a^{2} + 31 a) + 3 (- 60) = 0$

Schritt 4.3.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 a^{2} + 31 a) + 3 (- 60)$ heraus.

$3 (3 a^{2} + 31 a - 60) = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 60 = - 180$ und deren Summe gleich $b = 31$ ist.

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Faktorisiere $31$ aus $31 a$ heraus.

$3 (3 a^{2} + 31 (a) - 60) = 0$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Schreibe $31$ um als $- 5$ plus $36$

$3 (3 a^{2} + (- 5 + 36) a - 60) = 0$

Schritt 4.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (3 a^{2} - 5 a + 36 a - 60) = 0$

Schritt 4.3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 ((3 a^{2} - 5 a) + 36 a - 60) = 0$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 (a (3 a - 5) + 12 (3 a - 5)) = 0$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 a - 5$ .

$3 ((3 a - 5) (a + 12)) = 0$

Schritt 4.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (3 a - 5) (a + 12) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 a - 5 = 0$

$a + 12 = 0$

Schritt 4.5

Setze $3 a - 5$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $3 a - 5$ gleich $0$ .

$3 a - 5 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $3 a - 5 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 a = 5$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 a = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 a = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 a}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 a}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{5}{3}$

Schritt 4.6

Setze $a + 12$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $a + 12$ gleich $0$ .

$a + 12 = 0$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - 12$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (3 a - 5) (a + 12) = 0$ wahr machen.

$a = \frac{5}{3}, - 12$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{4}{3 a - 5} + \frac{3 a^{2} + 38 a + 36}{25 a - 9 a^{3}} = \frac{3}{3 a + 5}$ nicht erfüllen.

$a = - 12$