Algebra Beispiele

$\frac{1}{8} x^{3} + \frac{8}{27}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{8} x^{3}$ als ${(\frac{1}{2} x)}^{3}$ um.

${(\frac{1}{2} x)}^{3} + \frac{8}{27}$

Schritt 2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

${(\frac{1}{2} x)}^{3} + \frac{2^{3}}{27}$

Schritt 3

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

${(\frac{1}{2} x)}^{3} + \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{2^{3}}{3^{3}}$ als ${(\frac{2}{3})}^{3}$ um.

${(\frac{1}{2} x)}^{3} + {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = \frac{1}{2} x$ und $b = \frac{2}{3}$ .

$(\frac{1}{2} x + \frac{2}{3}) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} - (\frac{1}{2} x) \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} - (\frac{1}{2} x) \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) ({(\frac{x}{2})}^{2} - (\frac{1}{2} x) \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Schritt 6.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2} x) \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Schritt 6.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - (\frac{1}{2} x) \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Schritt 6.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Schritt 6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Schritt 6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - x \frac{1}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Schritt 6.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Schritt 6.8

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{3} + \frac{2^{2}}{3^{2}})$

Schritt 6.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{3} + \frac{4}{3^{2}})$

Schritt 6.10

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{3} + \frac{4}{9})$

Schritt 6.11

Faktorisiere.

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Schritt 6.11.1

Faktorisiere $\frac{1}{36}$ aus jedem Term raus.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{1}{36} (9 x^{2} - 12 x + 16))$

Schritt 6.11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) \frac{1}{36} (9 x^{2} - 12 x + 16)$