Algebra Beispiele

$\frac{3 x - 12}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1

Vereinfache beide Seiten.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 x - 12$ und $3$ .

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x) - 12}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{3 (x) + 3 \cdot - 4}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- 4)$ heraus.

$\frac{3 (x - 4)}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x - 4)}{3 (x)} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x - 4)}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{{(2 x)}^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{{(2 x)}^{2} - 3^{2}}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 3$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ und deren Summe gleich $b = - 16$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 16 x$ heraus.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 16 (x) + 15}$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $- 16$ um als $- 6$ plus $- 10$

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} + (- 6 - 10) x + 15}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 6 x - 10 x + 15}$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(4 x^{2} - 6 x) - 10 x + 15}$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 3$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 5}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$(x - 4) (2 x - 5) = x (2 x + 3)$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(x - 4) (2 x - 5)$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x - 4) (2 x - 5) = x (2 x + 3)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x - 4) (2 x - 5) = x (2 x + 3)$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $(x - 4) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5) = x (2 x + 3)$

Schritt 3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x - 5) = x (2 x + 3)$

Schritt 3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Schritt 3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Schritt 3.1.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Schritt 3.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Schritt 3.1.4.1.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - 5 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Schritt 3.1.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$2 x^{2} - 5 x - 8 x - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Schritt 3.1.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$2 x^{2} - 5 x - 8 x + 20 = x (2 x + 3)$

Schritt 3.1.4.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = x (2 x + 3)$

Schritt 3.2

Vereinfache $x (2 x + 3)$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = x (2 x) + x \cdot 3$

Schritt 3.2.1.2

Stelle um.

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Schritt 3.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x \cdot x + x \cdot 3$

Schritt 3.2.1.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x \cdot x + 3 \cdot x$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 (x \cdot x) + 3 \cdot x$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x^{2} + 3 \cdot x$

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x^{2} + 3 x$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} = 3 x$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 3.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} - 3 x$ .

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$- 13 x + 20 + 0 - 3 x = 0$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $- 13 x + 20$ und $0$ .

$- 13 x + 20 - 3 x = 0$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $3 x$ von $- 13 x$ .

$- 16 x + 20 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 x = - 20$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- 16 x = - 20$ durch $- 16$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 16 x = - 20$ durch $- 16$ .

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 20}{- 16}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 16$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 20}{- 16}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 16}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $- 16$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 20$ heraus.

$x = \frac{- 4 (5)}{- 16}$

Schritt 3.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 16$ heraus.

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 4}$

Schritt 3.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 4}$

Schritt 3.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5}{4}$

Dezimalform:

$x = 1.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{1}{4}$