Algebra Beispiele

$\log_{6} (x^{2} + 8) = 1 + \log_{6} (x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{6} (x^{2} + 8) - \log_{6} (x) = 1$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{x^{2} + 8}{x}) = 1$

Schritt 3

Schreibe $\log_{6} (\frac{x^{2} + 8}{x}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$6^{1} = \frac{x^{2} + 8}{x}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x^{2} + 8 = 6 (x)$

Schritt 5

Multipliziere $6$ mit $x$ .

$x^{2} + 8 = 6 x$

Schritt 6

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 8 - 6 x = 0$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} + 8 - 6 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Schritt 8

Vereinfache $(x - 4) (x - 2)$ .

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Schritt 8.1

Multipliziere $(x - 4) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 2) - 4 (x - 2) = 0$

Schritt 8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 (x - 2) = 0$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Schritt 8.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Schritt 8.2.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 4 x + 8 = 0$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 11

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 12

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 2$