Algebra Beispiele

$\frac{3 z^{11} + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3 z^{5}$ aus $3 z^{11} + 3 z^{5}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3 z^{5}$ aus $3 z^{11}$ heraus.

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3 z^{5}$ aus $3 z^{5}$ heraus.

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $3 z^{5}$ aus $3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)$ heraus.

$\frac{3 z^{5} (z^{6} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 1.2

Schreibe $z^{6}$ als ${(z^{2})}^{3}$ um.

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1^{3})}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = z^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 1.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $z^{12}$ als ${(z^{6})}^{2}$ um.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{{(z^{6})}^{2} + 4 z^{6} + 3}$

Schritt 2.2

Es sei $u = z^{6}$ . Ersetze $u$ für alle $z^{6}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{u^{2} + 4 u + 3}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $u^{2} + 4 u + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(u + 1) (u + 3)}$

Schritt 2.4

Ersetze alle $u$ durch $z^{6}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{6} + 1) (z^{6} + 3)}$

Schritt 2.5

Schreibe $z^{6}$ als ${(z^{2})}^{3}$ um.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1) (z^{6} + 3)}$

Schritt 2.6

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1^{3}) (z^{6} + 3)}$

Schritt 2.7

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.8.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Schritt 2.8.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z^{4} - z^{2} + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 z^{5}}{z^{6} + 3}$