Algebra Beispiele

$\ln (x^{2} - 5 x) - \ln (x^{2} - 25) = 3$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} - 5 x}{x^{2} - 25}) = 3$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 5 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{x \cdot x - 5 x}{x^{2} - 25}) = 3$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$\ln (\frac{x \cdot x + x \cdot - 5}{x^{2} - 25}) = 3$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 5$ heraus.

$\ln (\frac{x (x - 5)}{x^{2} - 25}) = 3$

Schritt 1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\ln (\frac{x (x - 5)}{x^{2} - 5^{2}}) = 3$

Schritt 1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\ln (\frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}) = 3$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}) = 3$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x}{x + 5}) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\frac{x}{x + 5}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{3} = \frac{x}{x + 5}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x = e^{3} (x + 5)$

Schritt 4

Vereinfache $e^{3} (x + 5)$ .

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = e^{3} x + e^{3} \cdot 5$

Schritt 4.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{3}$ .

$x = e^{3} x + 5 e^{3}$

Schritt 5

Subtrahiere $e^{3} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - e^{3} x = 5 e^{3}$

Schritt 6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $x - e^{3} x$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x - e^{3} x = 5 e^{3}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - e^{3} x = 5 e^{3}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- e^{3} x$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- e^{3}) = 5 e^{3}$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- e^{3})$ heraus.

$x (1 - e^{3}) = 5 e^{3}$

Schritt 6.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x (1^{3} - e^{3}) = 5 e^{3}$

Schritt 6.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$x ((1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Schritt 6.4

Faktorisiere.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x ((1 - e) (1 + 1 e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Schritt 6.4.1.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$x ((1 - e) (1 + e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Schritt 6.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$ durch $1 - e^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$ durch $1 - e^{3}$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{1 - e^{3}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{1^{3} - e^{3}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Schritt 7.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + 1 e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Schritt 7.2.1.3.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (1 + e + e^{2})}{1 + e + e^{2}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e + e^{2}$ .

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e + e^{2})}{1 + e + e^{2}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Schritt 7.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x = \frac{5 e^{3}}{1^{3} - e^{3}}$

Schritt 7.3.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})}$

Schritt 7.3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + 1 e + e^{2})}$

Schritt 7.3.1.3.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + e + e^{2})}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + e + e^{2})}$

Dezimalform:

$x = - 5.26197848 \dots$