Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{2 x^{2} + 10 x + 12}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} - 4$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (x) = \frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x^{2} + 10 x + 12}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x^{2} + 10 x + 12}$

Schritt 2

Faktorisiere $2 x^{2} + 10 x + 12$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 10 x + 12$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x^{2}) + 10 x + 12}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x^{2}) + 2 (5 x) + 12}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x^{2} + 2 (5 x) + 2 \cdot 6}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (5 x)$ heraus.

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x^{2} + 5 x) + 2 \cdot 6}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 5 x) + 2 \cdot 6$ heraus.

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x^{2} + 5 x + 6)}$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 ((x + 2) (x + 3))}$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2) (x + 3)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2) (x + 3)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{x - 2}{2 (x + 3)}$

Schritt 4

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x + 2$

Schritt 5

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{x - 2}{2 (x + 3)}$ .

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Schritt 5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5.3

Setze $- 2$ für $x$ in $\frac{x - 2}{2 (x + 3)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Setze $- 2$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{- 2 - 2}{2 (- 2 + 3)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 - 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1 - 2}{2 (- 2 + 3)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1}{2 (- 2 + 3)}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 \cdot (- 1 - 1)}{2 (- 2 + 3)}$

Schritt 5.3.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot (- 1 - 1)}{2 (- 2 + 3)}$

Schritt 5.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 - 1}{- 2 + 3}$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{- 2 + 3}$

Schritt 5.3.2.3

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{- 2}{1}$

Schritt 5.3.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2$

Schritt 5.4

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(- 2, - 2)$

Schritt 6