Algebra Beispiele

$\frac{p^{2} - q^{2}}{p + q} \div \frac{p + q}{p - q}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{p^{2} - q^{2}}{p + q} \cdot \frac{p - q}{p + q}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = p$ und $b = q$ .

$\frac{(p + q) (p - q)}{p + q} \cdot \frac{p - q}{p + q}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p + q$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(p + q) (p - q)}{p + q} \cdot \frac{p - q}{p + q}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p - q}{p + q} (p - q)$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{p - q}{p + q}$ mit $p - q$ .

$\frac{(p - q) (p - q)}{p + q}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Potenziere $p - q$ mit $1$ .

$\frac{{(p - q)}^{1} (p - q)}{p + q}$

Schritt 5.2

Potenziere $p - q$ mit $1$ .

$\frac{{(p - q)}^{1} {(p - q)}^{1}}{p + q}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(p - q)}^{1 + 1}}{p + q}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(p - q)}^{2}}{p + q}$

Schritt 6

Schreibe ${(p - q)}^{2}$ als $(p - q) (p - q)$ um.

$\frac{(p - q) (p - q)}{p + q}$

Schritt 7

Multipliziere $(p - q) (p - q)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{p (p - q) - q (p - q)}{p + q}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{p \cdot p + p (- q) - q (p - q)}{p + q}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q)}{p + q}$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$\frac{p^{2} + p (- q) - q p - q (- q)}{p + q}$

Schritt 8.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{p^{2} - p q - q p - q (- q)}{p + q}$

Schritt 8.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q}{p + q}$

Schritt 8.1.4

Multipliziere $q$ mit $q$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1.4.1

Bewege $q$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q)}{p + q}$

Schritt 8.1.4.2

Mutltipliziere $q$ mit $q$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2}}{p + q}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p + 1 q^{2}}{p + q}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $q^{2}$ mit $1$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p + q^{2}}{p + q}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $q p$ von $- p q$ .

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Schritt 8.2.1

Bewege $q$ .

$\frac{p^{2} - p q - 1 p q + q^{2}}{p + q}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $p q$ von $- p q$ .

$\frac{p^{2} - 2 p q + q^{2}}{p + q}$

Schritt 9

Zerlege den Bruch $\frac{p^{2} - 2 p q + q^{2}}{p + q}$ in zwei Brüche.

$\frac{p^{2} - 2 p q}{p + q} + \frac{q^{2}}{p + q}$

Schritt 10

Zerlege den Bruch $\frac{p^{2} - 2 p q}{p + q}$ in zwei Brüche.

$\frac{p^{2}}{p + q} + \frac{- 2 p q}{p + q} + \frac{q^{2}}{p + q}$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{p^{2}}{p + q} - \frac{2 p q}{p + q} + \frac{q^{2}}{p + q}$