Algebra Beispiele

$\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{3}{x^{2} + 8}$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} = \frac{3}{x^{2} + 8}$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} = \frac{3}{x^{2} + 8}$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{3}{x^{2} + 8}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$3 (x^{2} + 8) = {(x + 2)}^{2} \cdot 3$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $3 (x^{2} + 8)$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 3 (x^{2} + 8) = {(x + 2)}^{2} \cdot 3$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$3 (x^{2} + 8) = {(x + 2)}^{2} \cdot 3$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 3 \cdot 8 = {(x + 2)}^{2} \cdot 3$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$3 x^{2} + 24 = {(x + 2)}^{2} \cdot 3$

Schritt 3.2

Vereinfache ${(x + 2)}^{2} \cdot 3$ .

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Schritt 3.2.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$3 x^{2} + 24 = (x + 2) (x + 2) \cdot 3$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 24 = (x (x + 2) + 2 (x + 2)) \cdot 3$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 24 = (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) \cdot 3$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 24 = (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 24 = (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x^{2} + 24 = (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x^{2} + 24 = (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) \cdot 3$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$3 x^{2} + 24 = (x^{2} + 4 x + 4) \cdot 3$

Schritt 3.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 24 = x^{2} \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 4 \cdot 3$

Schritt 3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 24 = 3 \cdot x^{2} + 4 x \cdot 3 + 4 \cdot 3$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$3 x^{2} + 24 = 3 \cdot x^{2} + 12 x + 4 \cdot 3$

Schritt 3.2.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 24 = 3 \cdot x^{2} + 12 x + 12$

$3 x^{2} + 24 = 3 x^{2} + 12 x + 12$

Schritt 3.3

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$3 x^{2} + 12 x + 12 = 3 x^{2} + 24$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 12 x + 12 - 3 x^{2} = 24$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} + 12 x + 12 - 3 x^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$12 x + 12 + 0 = 24$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $12 x + 12$ und $0$ .

$12 x + 12 = 24$

Schritt 3.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = 24 - 12$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $12$ von $24$ .

$12 x = 12$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 12$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 12$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{12}{12}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{12}{12}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{12}{12}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Dividiere $12$ durch $12$ .

$x = 1$