Algebra Beispiele

$\frac{\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4}}{\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4}}{\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}}$ mit $\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)} \cdot \frac{\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4}}{\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{2}{x - 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x - 2) ((x^{2} - 4) (x + 2)) \frac{2}{x - 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 4$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{x^{2} - 4}$ in den Zähler.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{- 3}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{- 3}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{- 3}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 4$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x + 2}$ in den Zähler.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{- 2}{x + 2}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4)) \frac{- 2}{x + 2}}$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4)) \frac{- 2}{x + 2}}$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2$ heraus.

$\frac{(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2) + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x - 2) (x + 2) \cdot - 3$ heraus.

$\frac{(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2) + (x + 2) ((x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2) + (x + 2) ((x - 2) \cdot - 3)$ heraus.

$\frac{(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2) (x^{2} \cdot 2 - 4 \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot x^{2} - 4 \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot x^{2} - 8 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 8 + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.6

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 8 - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 8 - 3 \cdot x + 6)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.8

Addiere $- 8$ und $6$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 3 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 4.9.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 3 (x) - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.9.1.2

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.9.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} + x - 4 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x + 2) ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(x + 2) (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1))}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 4.9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$\frac{(x + 2) ((2 x + 1) (x - 2))}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (x + 2) \cdot 5$ heraus.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((x + 2) \cdot 5) + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2$ heraus.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((x + 2) \cdot 5) + (x - 2) ((x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) ((x + 2) \cdot 5) + (x - 2) ((x^{2} - 4) \cdot - 2)$ heraus.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((x + 2) \cdot 5 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (x \cdot 5 + 2 \cdot 5 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Schritt 5.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 \cdot x + 2 \cdot 5 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 \cdot x + 10 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x + 10 + x^{2} \cdot - 2 - 4 \cdot - 2)}$

Schritt 5.6

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x + 10 - 2 \cdot x^{2} - 4 \cdot - 2)}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x + 10 - 2 \cdot x^{2} + 8)}$

Schritt 5.8

Addiere $10$ und $8$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x - 2 x^{2} + 18)}$

Schritt 5.9

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} + 5 x + 18)}$

Schritt 5.10

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.10.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot 18 = - 36$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 5.10.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} + 5 (x) + 18)}$

Schritt 5.10.1.2

Schreibe $5$ um als $- 4$ plus $9$

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} + (- 4 + 9) x + 18)}$

Schritt 5.10.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} - 4 x + 9 x + 18)}$

Schritt 5.10.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.10.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((- 2 x^{2} - 4 x) + 9 x + 18)}$

Schritt 5.10.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (2 x (- x - 2) - 9 (- x - 2))}$

Schritt 5.10.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((- x - 2) (2 x - 9))}$

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- x - 2) (2 x - 9)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- x - 2) (2 x - 9)}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 2$ und $- x - 2$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{(- 1 (- x) + 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Schritt 6.2.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 2)) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- 1 (- x - 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- x - 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Schritt 6.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{2 x - 9}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x + 1}{2 x - 9}$