Algebra Beispiele

$f (x) < - | x - 4 |$

Schritt 1

Subtrahiere $f (x)$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$0 < - | x - 4 | - f (x)$

Schritt 2

Ermittle Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse für die Grenzlinie.

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Schritt 2.1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 2.1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.1.2

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$- | x - 4 | - f (x) > 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $- | x - 4 | - f (x) > 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.1.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x - 4 \geq 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 4$

Schritt 2.1.3.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x - 4$ nicht negativ ist.

$- (x - 4) - f (x) > 0$

Schritt 2.1.3.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x - 4 < 0$

Schritt 2.1.3.5

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 4$

Schritt 2.1.3.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x - 4$ negativ ist.

$- - (x - 4) - f (x) > 0$

Schritt 2.1.3.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} - (x - 4) - f (x) > 0 & x \geq 4 \\ - - (x - 4) - f (x) > 0 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 2.1.3.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - x - - 4 - f (x) > 0 & x \geq 4 \\ - - (x - 4) - f (x) > 0 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 2.1.3.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

${\begin{cases} - x + 4 - f (x) > 0 & x \geq 4 \\ - - (x - 4) - f (x) > 0 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 2.1.3.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - x + 4 - f (x) > 0 & x \geq 4 \\ - (- x - - 4) - f (x) > 0 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 2.1.3.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

${\begin{cases} - x + 4 - f (x) > 0 & x \geq 4 \\ - (- x + 4) - f (x) > 0 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 2.1.3.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - x + 4 - f (x) > 0 & x \geq 4 \\ - - x - 1 \cdot 4 - f (x) > 0 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 2.1.3.9.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 2.1.3.9.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} - x + 4 - f (x) > 0 & x \geq 4 \\ 1 x - 1 \cdot 4 - f (x) > 0 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 2.1.3.9.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

${\begin{cases} - x + 4 - f (x) > 0 & x \geq 4 \\ x - 1 \cdot 4 - f (x) > 0 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 2.1.3.9.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

${\begin{cases} - x + 4 - f (x) > 0 & x \geq 4 \\ x - 4 - f (x) > 0 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 2.1.4

Löse $- x + 4 - f (x) > 0$ , wenn $x \geq 4$ ergibt.

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Schritt 2.1.4.1

Löse $- x + 4 - f (x) > 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.4.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.4.1.1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x - f (x) > - 4$

Schritt 2.1.4.1.1.2

Addiere $f (x)$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- x > - 4 + f (x)$

Schritt 2.1.4.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x > - 4 + f (x)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1.2.1

Teile jeden Term in $- x > - 4 + f (x)$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 4}{- 1} + \frac{f (x)}{- 1}$

Schritt 2.1.4.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.4.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{- 4}{- 1} + \frac{f (x)}{- 1}$

Schritt 2.1.4.1.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 4}{- 1} + \frac{f (x)}{- 1}$

Schritt 2.1.4.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.4.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.1.2.3.1.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x < 4 + \frac{f (x)}{- 1}$

Schritt 2.1.4.1.2.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{f (x)}{- 1}$ .

$x < 4 - 1 \cdot f (x)$

Schritt 2.1.4.1.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot f (x)$ als $- f (x)$ um.

$x < 4 - f (x)$

Schritt 2.1.4.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 4 - f (x)$ und $x \geq 4$ .

$4 \leq x < 4 - f (x)$

Schritt 2.1.5

Löse $x - 4 - f (x) > 0$ , wenn $x < 4$ ergibt.

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Schritt 2.1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.5.1.1

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x - f (x) > 4$

Schritt 2.1.5.1.2

Addiere $f (x)$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x > 4 + f (x)$

Schritt 2.1.5.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > 4 + f (x)$ und $x < 4$ .

$4 + f (x) < x < 4$

Schritt 2.1.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$N o (Min i m u m) < x < N o (Max i m u m)$

Schritt 2.2

Die Gleichung ist nicht linear, und folglich existiert keine konstante Steigung.

Nicht linear

Schritt 3

Zeichne eine gestrichelte Linie und schraffiere dann die Fläche unterhalb der Grenzlinie, da $y$ kleiner als $- | x - 4 | - f (x)$ ist.

$0 < - | x - 4 | - f (x)$

Schritt 4