Algebra Beispiele

$\frac{2}{{(x + h)}^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$\frac{2}{(x + h) (x + h) - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{x (x + h) + h (x + h) - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{x \cdot x + x h + h (x + h) - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{2}{x^{2} + x h + h x + h^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Schritt 1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$\frac{2}{x^{2} + h x + h x + h^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Schritt 2

Um $\frac{2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 3}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3} \cdot \frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Schritt 3

Um $- \frac{2}{x^{2} - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3} \cdot \frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$ mit $\frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)} - \frac{2}{x^{2} - 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{2} - 3}$ mit $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)} - \frac{2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)}{(x^{2} - 3) (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)$ um.

$\frac{2 (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)} - \frac{2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x^{2} - 3) - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 3) - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} - 3) + 2 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 3) + 2 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3))$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} - 3 - (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x^{2} - 3 - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6.4

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{2 (0 - 3 - 2 h x - h^{2} + 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{2 (- 3 - 2 h x - h^{2} + 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6.6

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{2 (- 2 h x - h^{2} + 0)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6.7

Addiere $- 2 h x - h^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 (- 2 h x - h^{2})}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6.8

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h x - h^{2}$ heraus.

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Schritt 6.8.1

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h x$ heraus.

$\frac{2 (h (- 2 x) - h^{2})}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6.8.2

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2}$ heraus.

$\frac{2 (h (- 2 x) + h (- h))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 6.8.3

Faktorisiere $h$ aus $h (- 2 x) + h (- h)$ heraus.

$\frac{2 (h (- 2 x - h))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

$\frac{2 h (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 h (- (2 x) - h)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- h$ heraus.

$\frac{2 h (- (2 x) - (h))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (h)$ heraus.

$\frac{2 h (- (2 x + h))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Schreibe $- (2 x + h)$ als $- 1 (2 x + h)$ um.

$\frac{2 h (- 1 (2 x + h))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 7.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 h) (2 x + h)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 7.4.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 h) (2 x + h)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$ um.

$- \frac{2 h (2 x + h)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$