Algebra Beispiele

$710 = 490 {(1.015)}^{x + 1} + 180$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $490 \cdot {1.015}^{x + 1} + 180 = 710$ um.

$490 \cdot {1.015}^{x + 1} + 180 = 710$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $180$ von beiden Seiten der Gleichung.

$490 \cdot {1.015}^{x + 1} = 710 - 180$

Schritt 2.2

Subtrahiere $180$ von $710$ .

$490 \cdot {1.015}^{x + 1} = 530$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $490 \cdot {1.015}^{x + 1} = 530$ durch $490$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $490 \cdot {1.015}^{x + 1} = 530$ durch $490$ .

$\frac{490 \cdot {1.015}^{x + 1}}{490} = \frac{530}{490}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $490$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{490 \cdot {1.015}^{x + 1}}{490} = \frac{530}{490}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere ${1.015}^{x + 1}$ durch $1$ .

${1.015}^{x + 1} = \frac{530}{490}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $530$ und $490$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $10$ aus $530$ heraus.

${1.015}^{x + 1} = \frac{10 (53)}{490}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $490$ heraus.

${1.015}^{x + 1} = \frac{10 \cdot 53}{10 \cdot 49}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${1.015}^{x + 1} = \frac{10 \cdot 53}{10 \cdot 49}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${1.015}^{x + 1} = \frac{53}{49}$

Schritt 4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.015}^{x + 1}) = \ln (\frac{53}{49})$

Schritt 5

Zerlege $\ln ({1.015}^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (1.015) = \ln (\frac{53}{49})$

Schritt 6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1

Vereinfache $(x + 1) \ln (1.015)$ .

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (1.015) + 1 \ln (1.015) = \ln (\frac{53}{49})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $\ln (1.015)$ mit $1$ .

$x \ln (1.015) + \ln (1.015) = \ln (\frac{53}{49})$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (1.015) + \ln (1.015) - \ln (\frac{53}{49}) = 0$

Schritt 8

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.015) + \ln (\frac{1.015}{\frac{53}{49}}) = 0$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \ln (1.015) + \ln (1.015 (\frac{49}{53})) = 0$

Schritt 9.2

Multipliziere $1.015 (\frac{49}{53})$ .

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $1.015$ und $\frac{49}{53}$ .

$x \ln (1.015) + \ln (\frac{1.015 \cdot 49}{53}) = 0$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $1.015$ mit $49$ .

$x \ln (1.015) + \ln (\frac{49.735}{53}) = 0$

Schritt 9.3

Dividiere $49.735$ durch $53$ .

$x \ln (1.015) + \ln (0.93839622) = 0$

Schritt 10

Subtrahiere $\ln (0.93839622)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (1.015) = - \ln (0.93839622)$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (1.015) = - \ln (0.93839622)$ durch $\ln (1.015)$ und vereinfache.

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Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (1.015) = - \ln (0.93839622)$ durch $\ln (1.015)$ .

$\frac{x \ln (1.015)}{\ln (1.015)} = \frac{- \ln (0.93839622)}{\ln (1.015)}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.015)$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (1.015)}{\ln (1.015)} = \frac{- \ln (0.93839622)}{\ln (1.015)}$

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.93839622)}{\ln (1.015)}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (0.93839622)}{\ln (1.015)}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (0.93839622)}{\ln (1.015)}$

Dezimalform:

$x = 4.27057947 \dots$