Algebra Beispiele

$\frac{a}{b} (1 - \frac{a}{x}) + \frac{b}{a} (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{a}{b} \cdot (1 - \frac{a}{x}) + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x})$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Mutltipliziere $\frac{a}{b}$ mit $1 - \frac{a}{x}$ .

$\frac{a (1 - \frac{a}{x})}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Schritt 1.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a (\frac{x}{x} - \frac{a}{x})}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Schritt 1.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a \frac{x - a}{x}}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $a$ und $\frac{x - a}{x}$ .

$\frac{\frac{a (x - a)}{x}}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Schritt 1.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{a (x - a)}{x} \cdot \frac{1}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Schritt 1.1.5

Mutltipliziere $\frac{a (x - a)}{x}$ mit $\frac{1}{b}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Schritt 1.1.6

Mutltipliziere $\frac{b}{a}$ mit $1 - \frac{b}{x}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (1 - \frac{b}{x})}{a} = 1$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (\frac{x}{x} - \frac{b}{x})}{a} = 1$

Schritt 1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b \frac{x - b}{x}}{a} = 1$

Schritt 1.1.8

Kombiniere $b$ und $\frac{x - b}{x}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{\frac{b (x - b)}{x}}{a} = 1$

Schritt 1.1.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (x - b)}{x} \cdot \frac{1}{a} = 1$

Schritt 1.1.10

Mutltipliziere $\frac{b (x - b)}{x}$ mit $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (x - b)}{x a} = 1$

Schritt 1.2

Um $\frac{a (x - a)}{x b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} \cdot \frac{a}{a} + \frac{b (x - b)}{x a} = 1$

Schritt 1.3

Um $\frac{b (x - b)}{x a}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b}{b}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} \cdot \frac{a}{a} + \frac{b (x - b)}{x a} \cdot \frac{b}{b} = 1$

Schritt 1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x b a$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{a (x - a)}{x b}$ mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a (x - a) a}{x b a} + \frac{b (x - b)}{x a} \cdot \frac{b}{b} = 1$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\frac{b (x - b)}{x a}$ mit $\frac{b}{b}$ .

$\frac{a (x - a) a}{x b a} + \frac{b (x - b) b}{x a b} = 1$

Schritt 1.4.3

Stelle die Faktoren von $x b a$ um.

$\frac{a (x - a) a}{a b x} + \frac{b (x - b) b}{x a b} = 1$

Schritt 1.4.4

Stelle die Faktoren von $x a b$ um.

$\frac{a (x - a) a}{a b x} + \frac{b (x - b) b}{a b x} = 1$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a (x - a) a + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.1

Bewege $a$ .

$\frac{a \cdot a (x - a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} (x - a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} x + a^{2} (- a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a^{2} x - a^{2} a + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.4

Multipliziere $a^{2}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.4.1

Bewege $a$ .

$\frac{a^{2} x - (a \cdot a^{2}) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.4.2

Mutltipliziere $a$ mit $a^{2}$ .

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Schritt 1.6.4.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} x - (a^{1} a^{2}) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} x - a^{1 + 2} + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.5

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.5.1

Bewege $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b \cdot b (x - b)}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.5.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} (x - b)}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x + b^{2} (- b)}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{2} b}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.8

Multipliziere $b^{2}$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.8.1

Bewege $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - (b \cdot b^{2})}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.8.2

Mutltipliziere $b$ mit $b^{2}$ .

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Schritt 1.6.8.2.1

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - (b^{1} b^{2})}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{1 + 2}}{a b x} = 1$

Schritt 1.6.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$a b x, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$a b x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$ mit $a b x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$ mit $a b x$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} (a b x) = 1 (a b x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a b x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} (a b x) = 1 (a b x)$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} = 1 (a b x)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $a b x$ mit $1$ .

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} = a b x$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $a b x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} - a b x = 0$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $a^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} x + b^{2} x - b^{3} - a b x = a^{3}$

Schritt 4.2.2

Addiere $b^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} x + b^{2} x - a b x = a^{3} + b^{3}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x$ aus $a^{2} x + b^{2} x - a b x$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $a^{2} x$ heraus.

$x a^{2} + b^{2} x - a b x = a^{3} + b^{3}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $x$ aus $b^{2} x$ heraus.

$x a^{2} + x b^{2} - a b x = a^{3} + b^{3}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $- a b x$ heraus.

$x a^{2} + x b^{2} + x (- a b) = a^{3} + b^{3}$

Schritt 4.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x a^{2} + x b^{2}$ heraus.

$x (a^{2} + b^{2}) + x (- a b) = a^{3} + b^{3}$

Schritt 4.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x (a^{2} + b^{2}) + x (- a b)$ heraus.

$x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$ durch $a^{2} + b^{2} - a b$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$ durch $a^{2} + b^{2} - a b$ .

$\frac{x (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{2} + b^{2} - a b$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Schritt 4.4.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = a$ und $b = b$ .

$x = \frac{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Schritt 4.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a^{2} - a b + b^{2}$ und $a^{2} + b^{2} - a b$ .

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Schritt 4.4.3.3.1

Stelle die Terme um.

$x = \frac{(a + b) (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Schritt 4.4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{(a + b) (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Schritt 4.4.3.3.3

Dividiere $a + b$ durch $1$ .

$x = a + b$