Algebra Beispiele

$\frac{2}{x + 3} - \frac{x}{x - 1} + \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2}{x + 3} - \frac{x}{x - 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Schritt 2

Um $\frac{2}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Schritt 3

Um $- \frac{x}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 3) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x + 3}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 1)} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 1}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 1)} - \frac{x (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 3)$ um.

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 1)} - \frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x - 1)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x - 1) - x (x + 3)}{(x + 3) (x - 1)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x - 1) - x (x + 3) + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x (x + 3) + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - x (x + 3) + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 2 - x \cdot x - x \cdot 3 + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x - 2 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x - 2 - x^{2} - x \cdot 3 + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - x^{2} - 3 x + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 2 - x^{2} - 3 x + x^{2} + 2$ .

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Schritt 7.1.1

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x + 0 + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 7.1.2

Addiere $2 x - 2 - 3 x$ und $0$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 7.1.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{2 x - 3 x + 0}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 7.1.4

Addiere $2 x - 3 x$ und $0$ .

$\frac{2 x - 3 x}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$\frac{- x}{(x + 3) (x - 1)}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{(x + 3) (x - 1)}$