Algebra Beispiele

$y = 2 x^{2} + 3$ $y = 2 x - 6$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$2 x^{2} + 3 = 2 x - 6$

Schritt 2

Löse $2 x^{2} + 3 = 2 x - 6$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 3 - 2 x = - 6$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 3 - 2 x + 6 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $3$ und $6$ .

$2 x^{2} - 2 x + 9 = 0$

Schritt 2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x - 6$

Schritt 2.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 2$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 9)}}{2 \cdot 2} + y = 2 x - 6$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 9$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 72}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $72$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $- 68$ als $- 1 (68)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (68)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.7

Schreibe $68$ als $2^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $68$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{17})}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{17}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 9$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 72}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $72$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $- 68$ als $- 1 (68)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (68)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.7

Schreibe $68$ als $2^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 2.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $68$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{17})}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{17}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 9$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 72}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.1.3

Subtrahiere $72$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $- 68$ als $- 1 (68)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (68)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.1.7

Schreibe $68$ als $2^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 2.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $68$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{17})}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{17}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{17}}{2}$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = \frac{1 + i \sqrt{17}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1 + i \sqrt{17}}{2}$ .

$y = 2 (\frac{1 + i \sqrt{17}}{2}) - 6$

Schritt 3.2

Setze $\frac{1 + i \sqrt{17}}{2}$ für $x$ in $y = 2 (\frac{1 + i \sqrt{17}}{2}) - 6$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $2$ mit $\frac{1 + i \sqrt{17}}{2}$ .

$y = 2 (\frac{1 + i \sqrt{17}}{2}) - 6$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $2 (\frac{1 + i \sqrt{17}}{2}) - 6$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \frac{1 + i \sqrt{17}}{2} - 6$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 1 + i \sqrt{17} - 6$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$y = i \sqrt{17} - 5$

Schritt 3.2.2.2.2

Stelle $i \sqrt{17}$ und $- 5$ um.

$y = - 5 + i \sqrt{17}$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = \frac{1 - i \sqrt{17}}{2}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1 - i \sqrt{17}}{2}$ .

$y = 2 (\frac{1 - i \sqrt{17}}{2}) - 6$

Schritt 4.2

Setze $\frac{1 - i \sqrt{17}}{2}$ für $x$ in $y = 2 (\frac{1 - i \sqrt{17}}{2}) - 6$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $2$ mit $\frac{1 - i \sqrt{17}}{2}$ .

$y = 2 (\frac{1 - i \sqrt{17}}{2}) - 6$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $2 (\frac{1 - i \sqrt{17}}{2}) - 6$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \frac{1 - i \sqrt{17}}{2} - 6$

Schritt 4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 1 - i \sqrt{17} - 6$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$y = - i \sqrt{17} - 5$

Schritt 4.2.2.2.2

Stelle $- i \sqrt{17}$ und $- 5$ um.

$y = - 5 - i \sqrt{17}$

Schritt 5

Liste alle Lösungen auf.

$y = - 5 + i \sqrt{17}, x = \frac{1 + i \sqrt{17}}{2}$

$y = - 5 - i \sqrt{17}, x = \frac{1 - i \sqrt{17}}{2}$

Schritt 6