Algebra Beispiele

$\log_{x - 3} (36) > 2$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{x - 3} (36) = 2$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\log_{x - 3} (36) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

${(x - 3)}^{2} = 36$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x - 3 = \pm \sqrt{36}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{36}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x - 3 = \pm \sqrt{6^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - 3 = \pm 6$

Schritt 2.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 3 = 6$

Schritt 2.2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6 + 3$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $6$ und $3$ .

$x = 9$

Schritt 2.2.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 3 = - 6$

Schritt 2.2.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.4.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6 + 3$

Schritt 2.2.3.4.2

Addiere $- 6$ und $3$ .

$x = - 3$

Schritt 2.2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 9, - 3$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{x - 3} (36) - 2$ .

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Schritt 3.1

Setze die Basis in $\log_{x - 3} (36)$ größer als $0$ , um herauszufinden, wo der Ausdruck definiert ist.

$x - 3 > 0$

Schritt 3.2

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x > 3$

Schritt 3.3

Setze die Basis in $\log_{x - 3} (36)$ gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 3 = 1$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 + 3$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ und $3$ .

$x = 4$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(3, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 9$

$x > 9$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{(- 6) - 3} (36) > 2$

Schritt 5.1.3

Der Logarithmus einer negativen Zahl ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{(0) - 3} (36) > 2$

Schritt 5.2.3

Der Logarithmus einer negativen Zahl ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3.5$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $3.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{(3.5) - 3} (36) > 2$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $- 5.169925$ ist nicht größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 5.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{(6) - 3} (36) > 2$

Schritt 5.4.3

Die linke Seite $3.2618595$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 5.5.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{(12) - 3} (36) > 2$

Schritt 5.5.3

Die linke Seite $1.63092975$ ist nicht größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Undefined

$- 3 < x < 3$ Undefined

$3 < x < 4$ Falsch

$4 < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

Undefiniert

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$4 < x < 9$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$4 < x < 9$

Intervallschreibweise:

$(4, 9)$

Schritt 8