Algebra Beispiele

$\cos (2 θ) = \cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$1 - 2 \sin^{2} (θ) = \cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (θ) = \cos^{2} (θ) - \frac{1}{2} - 1$

Schritt 3

Subtrahiere $\cos^{2} (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{1}{2} - 1$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Schritt 4.1.4.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) + \frac{3}{2} = 0$

Schritt 5.2

Ersetze $\cos^{2} (θ)$ durch $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Schritt 5.3

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache $- 2 \sin^{2} (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.3.1.1.1

Schreibe $- 2 \sin^{2} (θ)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1} - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1} \cdot \frac{2}{2} - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.1.4

Schreibe $- (1 - \sin^{2} (θ))$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} + \frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1} + \frac{3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.1.5

Mutltipliziere $\frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} + \frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} + \frac{- (1 - \sin^{2} (θ)) \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2 - (1 - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 \cdot 1 - - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 - - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.3.4

Multipliziere $- - \sin^{2} (θ)$ .

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Schritt 5.3.1.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 + 1 \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.3.4.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (θ)$ mit $1$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 + \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - 1 \cdot 2 + \sin^{2} (θ) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - 2 + \sin^{2} (θ) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - 2 + 2 \sin^{2} (θ) + 3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.1.4.1

Addiere $- 4 \sin^{2} (θ)$ und $2 \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) - 2 + 3}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.4.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) + 1}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sin^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{- (2 \sin^{2} (θ)) + 1}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.4.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (2 \sin^{2} (θ)) - 1 (- 1)}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \sin^{2} (θ)) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (2 \sin^{2} (θ) - 1)}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.4.6.1

Schreibe $- (2 \sin^{2} (θ) - 1)$ als $- 1 (2 \sin^{2} (θ) - 1)$ um.

$\frac{- 1 (2 \sin^{2} (θ) - 1)}{2} = 0$

Schritt 5.3.1.4.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sin^{2} (θ) - 1}{2} = 0$

Schritt 5.3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 \sin^{2} (θ) - 1 = 0$

Schritt 5.3.3

Löse die Gleichung nach $\sin (θ)$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin^{2} (θ) = 1$

Schritt 5.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin^{2} (θ) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin^{2} (θ) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.2.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (θ)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3.3.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3.3.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.3.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.3.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 5.3.3.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.3.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.3.3.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.3.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.3.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 5.3.3.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.5

Löse in $\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.3.5.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Schritt 5.3.5.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Schritt 5.3.5.4

Vereinfache $π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.3.5.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.3.5.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.3.5.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.3.5.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.3.5.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.4.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 5.3.5.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.3.5.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 5.3.5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.3.5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.3.5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.3.5.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.3.5.6

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.3.6

Löse in $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.3.6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.6.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Schritt 5.3.6.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 5.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.3.6.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 5.3.6.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Schritt 5.3.6.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 5.3.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.3.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.3.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.3.6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.3.6.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.3.6.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Schritt 5.3.6.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.3.6.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.3.6.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.3.6.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.3.6.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.6.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Schritt 5.3.6.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 5.3.6.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = \frac{7 π}{4}$

Schritt 5.3.6.7

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.3.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$