Algebra Beispiele

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x^{2} - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Schritt 1

Faktorisiere $3 (x - 2) (x^{2} - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 2$ und ${(x + 2)}^{4}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)$ heraus.

$\frac{(x + 2) (((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3))}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Schritt 2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3))}{(x + 2) (3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3})}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3))}{(x + 2) (3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3})}$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3}}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3}}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((4) (3 x + 4)) (2 x - 3)}{((3 (x - 2) (x - 1)) (2 x - 3)) {(x + 2)}^{3}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 3$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3}}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4) (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $4$ mit $3 x + 4$ .

$\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$

Schritt 6

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x + 1, 2 x - 3$

Schritt 7

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$ .

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Schritt 7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7.3

Setze $- 1$ für $x$ in $\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Setze $- 1$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{4 (3 \cdot - 1 + 4)}{3 (- 1 - 2) (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (- 3 + 4)}{3 (- 1 - 2) (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Schritt 7.3.2.1.2

Addiere $- 3$ und $4$ .

$\frac{4 \cdot 1}{3 (- 1 - 2) (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot - 3 (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Schritt 7.3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{4 \cdot 1}{- 9 (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Schritt 7.3.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{4 \cdot 1}{- 9 \cdot - 2 {(- 1 + 2)}^{3}}$

Schritt 7.3.2.2.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 2$ .

$\frac{4 \cdot 1}{18 {(- 1 + 2)}^{3}}$

Schritt 7.3.2.2.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{4 \cdot 1}{18 \cdot 1^{3}}$

Schritt 7.3.2.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4 \cdot 1}{18 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4}{18 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$\frac{4}{18}$

Schritt 7.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $18$ .

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Schritt 7.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{18}$

Schritt 7.3.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.3.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.3.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9}$

Schritt 7.4

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 7.5

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 7.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 7.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 7.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 7.6

Setze $\frac{3}{2}$ für $x$ in $\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Setze $\frac{3}{2}$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{4 (3 (\frac{3}{2}) + 4)}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2

Vereinfache.

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Schritt 7.6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.2.1.1

Multipliziere $3 (\frac{3}{2})$ .

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Schritt 7.6.2.1.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{3 \cdot 3}{2} + 4)}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4 (\frac{9}{2} + 4)}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.1.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{9}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.1.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{9}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \frac{9 + 4 \cdot 2}{2}}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4 \frac{9 + 8}{2}}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.1.5.2

Addiere $9$ und $8$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.6.2.2.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 \frac{3 - 2 \cdot 2}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 \frac{3 - 4}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.2.4.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{- 1}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 \cdot - 1 \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.2.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.6.2.2.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- 3 (\frac{1}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.2.6.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{- 3}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 7.6.2.2.6.3

Kombiniere ${(\frac{3}{2} + 2)}^{3}$ und $\frac{- 3}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3}{2} + 2)}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.2.2.7.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.7.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3 + 2 \cdot 2}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.2.2.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3 + 4}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.7.4.2

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{7}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.7.5

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{7^{3}}{2^{3}} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.7.6

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{343}{2^{3}} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.7.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{343}{8} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.8

Kombiniere $\frac{343}{8}$ und $- 3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{343 \cdot - 3}{8}}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.9

Mutltipliziere $343$ mit $- 3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{- 1029}{8}}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{- \frac{1029}{8}}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.11

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{8} \cdot \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.12

Multipliziere $- \frac{1029}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.6.2.2.12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1029}{8}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{2 \cdot 8} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} (\frac{3}{2} - 1)}$

Schritt 7.6.2.2.13

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} (\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

Schritt 7.6.2.2.14

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} (\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

Schritt 7.6.2.2.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 7.6.2.2.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.2.2.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} \cdot \frac{3 - 2}{2}}$

Schritt 7.6.2.2.16.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 7.6.2.2.17

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.6.2.2.17.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1029}{16}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{2 \cdot 16}}$

Schritt 7.6.2.2.17.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{32}}$

Schritt 7.6.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{17}{2}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 17}{2}}{- \frac{1029}{32}}$

Schritt 7.6.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $17$ .

$\frac{\frac{68}{2}}{- \frac{1029}{32}}$

Schritt 7.6.2.5

Dividiere $68$ durch $2$ .

$\frac{34}{- \frac{1029}{32}}$

Schritt 7.6.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$34 (- \frac{32}{1029})$

Schritt 7.6.2.7

Multipliziere $34 (- \frac{32}{1029})$ .

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Schritt 7.6.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $34$ .

$- 34 (\frac{32}{1029})$

Schritt 7.6.2.7.2

Kombiniere $- 34$ und $\frac{32}{1029}$ .

$\frac{- 34 \cdot 32}{1029}$

Schritt 7.6.2.7.3

Mutltipliziere $- 34$ mit $32$ .

$\frac{- 1088}{1029}$

Schritt 7.6.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1088}{1029}$

Schritt 7.7

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(- 1, \frac{2}{9}), (\frac{3}{2}, - \frac{1088}{1029})$

Schritt 8