Algebra Beispiele

$8 + 12 a^{2} + 6 a^{4} + a^{6}$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$8 + a^{6} + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Schritt 2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$2^{3} + a^{6} + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Schritt 3

Schreibe $a^{6}$ als ${(a^{2})}^{3}$ um.

$2^{3} + {(a^{2})}^{3} + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2$ und $b = a^{2}$ .

$(2 + a^{2}) (2^{2} - 2 a^{2} + {(a^{2})}^{2}) + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + {(a^{2})}^{2}) + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{2 \cdot 2}) + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Schritt 6

Faktorisiere $6 a^{2}$ aus $12 a^{2} + 6 a^{4}$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $6 a^{2}$ aus $12 a^{2}$ heraus.

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + 6 a^{2} (2) + 6 a^{4}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $6 a^{2}$ aus $6 a^{4}$ heraus.

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + 6 a^{2} (2) + 6 a^{2} (a^{2})$

Schritt 6.3

Faktorisiere $6 a^{2}$ aus $6 a^{2} (2) + 6 a^{2} (a^{2})$ heraus.

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + 6 a^{2} (2 + a^{2})$

Schritt 7

Faktorisiere $2 + a^{2}$ aus $(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + 6 a^{2} (2 + a^{2})$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2 + a^{2}$ aus $6 a^{2} (2 + a^{2})$ heraus.

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + (2 + a^{2}) (6 a^{2})$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2 + a^{2}$ aus $(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + (2 + a^{2}) (6 a^{2})$ heraus.

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4} + 6 a^{2})$

Schritt 8

Addiere $- 2 a^{2}$ und $6 a^{2}$ .

$(2 + a^{2}) (4 + a^{4} + 4 a^{2})$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$(2 + a^{2}) (a^{4} + 4 a^{2} + 4)$

Schritt 10

Schreibe $a^{4} + 4 a^{2} + 4$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 10.1

Schreibe $a^{4}$ als ${(a^{2})}^{2}$ um.

$(2 + a^{2}) ({(a^{2})}^{2} + 4 a^{2} + 4)$

Schritt 10.2

Es sei $u = a^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $a^{2}$ .

$(2 + a^{2}) (u^{2} + 4 u + 4)$

Schritt 10.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 10.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(2 + a^{2}) (u^{2} + 4 u + 2^{2})$

Schritt 10.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Schritt 10.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$(2 + a^{2}) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})$

Schritt 10.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 2$ .

$(2 + a^{2}) {(u + 2)}^{2}$

Schritt 10.4

Ersetze alle $u$ durch $a^{2}$ .

$(2 + a^{2}) {(a^{2} + 2)}^{2}$