Algebra Beispiele

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ als Gleichung.

$y = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ um.

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $- \frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.4.2.3.2

Kombinieren.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Schritt 3.4.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.2.3.3.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Schritt 3.4.2.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.4.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$

Schritt 5.3.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} \geq 0$

Schritt 5.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq 0$

Schritt 5.3.4

Setze den Nenner in $\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt{x^{3}} = 0$

Schritt 5.3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(3 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{3}{2}}$ an.

$3^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{3} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 x^{3} = 0$

Schritt 5.3.5.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{3} = 0$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{3} = 0$ durch $9$ .

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 5.3.5.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.5.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 5.3.5.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{9}$

Schritt 5.3.5.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $9$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 5.3.5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.5.3.3

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.3.5.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.3.5.3.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 5.3.6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 5.4.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$

Schritt 5.4.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}} = 0$

Schritt 5.4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}$ als ${(3 x)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Vereinfache ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.4.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.4.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x)}^{2} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$3^{2} x^{2} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 x^{2} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 x^{2} = 0$

Schritt 5.4.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} = 0$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} = 0$ durch $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 5.4.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{9}$

Schritt 5.4.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $9$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 5.4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.4.3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.4.3.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.4.3.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.4.3.3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.4.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ der Wertebereich von $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ der Definitionsbereich von $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ die inverse Funktion von $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6