Algebra Beispiele

$y = - 3 \log_{2} (- x + 1)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

${(- x + 1)}^{3} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x + 1$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

${(- (x) + 1)}^{3} = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

${(- (x) - 1 \cdot - 1)}^{3} = 0$

Schritt 1.2.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

${(- (x - 1))}^{3} = 0$

Schritt 1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $- (x - 1)$ an.

${(- 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in ${(- 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ durch ${(- 1)}^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in ${(- 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ durch ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}{{(- 1)}^{3}} = \frac{0}{{(- 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- 1)}^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(- 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}{{(- 1)}^{3}} = \frac{0}{{(- 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere ${(x - 1)}^{3}$ durch $1$ .

${(x - 1)}^{3} = \frac{0}{{(- 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

${(x - 1)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3.2

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 1$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 1$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 3 \log_{2} (- (0) + 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = - 3 \log_{2} (0 + 1)$

Schritt 2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = - 3 \log_{2} (1)$

Schritt 2.2.3

Die logarithmische Basis $2$ von $1$ ist $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$= 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = - 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 \log_{2} (- (- 1) + 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 \log_{2} (1 + 1)$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 1) = - 3 \log_{2} (2)$

Schritt 3.2.3

Die logarithmische Basis $2$ von $2$ ist $1$ .

$f (- 1) = - 3 \cdot 1$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (- 1) = - 3$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 3.3

Konvertiere $- 3$ nach Dezimal.

$= - 3$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - 3 \log_{2} (- (- 2) + 1)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 3 \log_{2} (2 + 1)$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- 2) = - 3 \log_{2} (3)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $- 3 \log_{2} (3)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- 2) = - \log_{2} (3^{3})$

Schritt 4.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- 2) = - \log_{2} (27)$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \log_{2} (27)$ .

$- \log_{2} (27)$

Schritt 4.3

Konvertiere $- \log_{2} (27)$ nach Dezimal.

$= - 4.7548875$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 1$ und den Punkten $(0, 0), (- 1, - 3), (- 2, - 4.7548875)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4.755 \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \end{array}$

Schritt 6