Algebra Beispiele

$x^{2} + 4 y^{2} = 4$

Schritt 1

Da $x = r \cos (θ)$ ist, ersetze $x$ durch $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + 4 y^{2} = 4$

Schritt 2

Da $y = r \sin (θ)$ ist, ersetze $y$ durch $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + 4 {(r \sin (θ))}^{2} = 4$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $r \cos (θ)$ an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 {(r \sin (θ))}^{2} = 4$

Schritt 3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $r \sin (θ)$ an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 r^{2} \sin^{2} (θ) = 4$

Schritt 3.2

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 r^{2} \sin^{2} (θ)$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $r^{2}$ aus $4 r^{2} \sin^{2} (θ)$ heraus.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (4 \sin^{2} (θ)) = 4$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (4 \sin^{2} (θ))$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)) = 4$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $r^{2} (\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)) = 4$ durch $\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $r^{2} (\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)) = 4$ durch $\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{r^{2} (\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)} = \frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{2} (\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)} = \frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $r^{2}$ durch $1$ .

$r^{2} = \frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{\frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ .

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Schritt 3.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ um.

$r = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \pm \frac{2}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ mit $\frac{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ .

$r = \pm \frac{2}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}} \cdot \frac{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Schritt 3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ mit $\frac{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)} \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Schritt 3.5.4.2

Potenziere $\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{1} \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Schritt 3.5.4.3

Potenziere $\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{1} {\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{1}}$

Schritt 3.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{2}}$

Schritt 3.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{2}$ als $\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)$ um.

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Schritt 3.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$ als ${(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{({(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{1}}$

Schritt 3.5.4.6.5

Vereinfache.

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

$r = - \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

$r = \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

$r = - \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

$r = \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

$r = - \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$