Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ als Gleichung.

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$a = \frac{y x + b}{c x + d}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y x + b}{c x + d} = a$ um.

$\frac{y x + b}{c x + d} = a$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $c x + d$ .

$\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d) = a (c x + d)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d)$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c x + d$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d) = a (c x + d)$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y x + b = a (c x + d)$

Schritt 3.3.1.1.2

Stelle $y$ und $x$ um.

$x y + b = a (c x + d)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x y + b = a c x + a d$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y = a c x + a d - b$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x y = a c x + a d - b$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = a c x + a d - b$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2

Dividiere $a c$ durch $1$ .

$y = a c + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (a)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$ die Umkehrfunktion von $f (a) = \frac{a x + b}{c x + d}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (a)) = a$ ist und $f (f^{- 1} (a)) = a$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (a))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (a))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot c + (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot \frac{d}{x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $\frac{a x + b}{c x + d}$ und $c$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} + (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot \frac{d}{x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{a x + b}{c x + d}$ mit $\frac{d}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5.2.4

Um $\frac{(a x + b) c}{c x + d}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{(a x + b) c}{c x + d}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c x}{(c x + d) x} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c x + (a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $a x + b$ aus $(a x + b) c x + (a x + b) d$ heraus.

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Schritt 5.2.6.1.1

Faktorisiere $a x + b$ aus $(a x + b) c x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x) + (a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5.2.6.1.2

Faktorisiere $a x + b$ aus $(a x + b) d$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x) + (a x + b) (d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5.2.6.1.3

Faktorisiere $a x + b$ aus $(a x + b) (c x) + (a x + b) (d)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x + d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c x + d$ .

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Schritt 5.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x + d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5.2.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + b}{x} - \frac{b}{x}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + b - b}{x}$

Schritt 5.2.7.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a x + b - b$ .

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Schritt 5.2.7.2.1

Subtrahiere $b$ von $b$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + 0}{x}$

Schritt 5.2.7.2.2

Addiere $a x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x}{x}$

Schritt 5.2.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x}{x}$

Schritt 5.2.7.3.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = a$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (a))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (a))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{(a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) \cdot x + b}{c x + d}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + \frac{a d}{x} \cdot x - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + \frac{a d}{x} \cdot x - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{b}{x}$ in den Zähler.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + \frac{- b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + \frac{- b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Schritt 5.3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d - b + b}{c x + d}$

Schritt 5.3.3.3

Addiere $- b$ und $b$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + 0}{c x + d}$

Schritt 5.3.3.4

Addiere $a c x + a d$ und $0$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d}{c x + d}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $a$ aus $a c x + a d$ heraus.

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $a$ aus $a c x$ heraus.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x) + a d}{c x + d}$

Schritt 5.3.3.5.2

Faktorisiere $a$ aus $a d$ heraus.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x) + a (d)}{c x + d}$

Schritt 5.3.3.5.3

Faktorisiere $a$ aus $a (c x) + a (d)$ heraus.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x + d)}{c x + d}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c x + d$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x + d)}{c x + d}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = a$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (a)) = a$ und $f (f^{- 1} (a)) = a$ gleich sind, ist $f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (a) = \frac{a x + b}{c x + d}$ .

$f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$