Algebra Beispiele

$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{8 x - 40}{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $3$ ist.

$- 2, 5$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{8 x - 40}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 x - 40}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x - 40$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x) - 40}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $8$ aus $- 40$ heraus.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 x + 8 \cdot - 5}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot - 5$ heraus.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 5)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 5)}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{x - 5}{8 (x - 5)}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{x - 5}{8 (x - 5)}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{1}{8}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{1}{8} + 2 x \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + 2 x \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{8} + 2 (x) \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{x^{2}}{8} + 2 (x) \frac{1}{2 (4)} + 4 (\frac{1}{8})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{8} + 2 x \frac{1}{2 \cdot 4} + 4 (\frac{1}{8})$

Schritt 7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{8} + x \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{8})$

Schritt 7.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 (\frac{1}{8})$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 \frac{1}{4 (2)}$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 8

Um $\frac{x}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{x}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 11

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x \cdot 2$ heraus.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 11.2

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x (2)}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (2)$ heraus.

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 12

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{4}{8}$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x + 2) + 4}{8}$

Schritt 15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 4}{8}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 4}{8}$

Schritt 15.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{8}$