Algebra Beispiele

$x + 2 y - z = 3$ $- 2 x - y + z = - 1$ $6 x - 3 y - z = - 7$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - z = 3 - 2 y$

$- 2 x - y + z = - 1$

$6 x - 3 y - z = - 7$

Schritt 1.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3 - 2 y + z$

$- 2 x - y + z = - 1$

$6 x - 3 y - z = - 7$

$x = 3 - 2 y + z$

$- 2 x - y + z = - 1$

$6 x - 3 y - z = - 7$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3 - 2 y + z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $- 2 x - y + z = - 1$ durch $3 - 2 y + z$ .

$- 2 (3 - 2 y + z) - y + z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$6 x - 3 y - z = - 7$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $- 2 (3 - 2 y + z) - y + z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cdot 3 - 2 (- 2 y) - 2 z - y + z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$6 x - 3 y - z = - 7$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6 - 2 (- 2 y) - 2 z - y + z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$6 x - 3 y - z = - 7$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$- 6 + 4 y - 2 z - y + z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$6 x - 3 y - z = - 7$

$- 6 + 4 y - 2 z - y + z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$6 x - 3 y - z = - 7$

$- 6 + 4 y - 2 z - y + z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$6 x - 3 y - z = - 7$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Subtrahiere $y$ von $4 y$ .

$- 6 + 3 y - 2 z + z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$6 x - 3 y - z = - 7$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $- 2 z$ und $z$ .

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$6 x - 3 y - z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$6 x - 3 y - z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$6 x - 3 y - z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$6 x - 3 y - z = - 7$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $6 x - 3 y - z = - 7$ durch $3 - 2 y + z$ .

$6 (3 - 2 y + z) - 3 y - z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $6 (3 - 2 y + z) - 3 y - z$ .

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cdot 3 + 6 (- 2 y) + 6 z - 3 y - z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$18 + 6 (- 2 y) + 6 z - 3 y - z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$18 - 12 y + 6 z - 3 y - z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$18 - 12 y + 6 z - 3 y - z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$18 - 12 y + 6 z - 3 y - z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.1.2.1

Subtrahiere $3 y$ von $- 12 y$ .

$18 - 15 y + 6 z - z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 2.4.1.2.2

Subtrahiere $z$ von $6 z$ .

$18 - 15 y + 5 z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$18 - 15 y + 5 z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$18 - 15 y + 5 z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$18 - 15 y + 5 z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$18 - 15 y + 5 z = - 7$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3

Löse in $18 - 15 y + 5 z = - 7$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 15 y + 5 z = - 7 - 18$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $5 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 15 y = - 7 - 18 - 5 z$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $18$ von $- 7$ .

$- 15 y = - 25 - 5 z$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$- 15 y = - 25 - 5 z$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 15 y = - 25 - 5 z$ durch $- 15$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 15 y = - 25 - 5 z$ durch $- 15$ .

$\frac{- 15 y}{- 15} = \frac{- 25}{- 15} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 15$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 15 y}{- 15} = \frac{- 25}{- 15} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 25}{- 15} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$y = \frac{- 25}{- 15} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$y = \frac{- 25}{- 15} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 25$ und $- 15$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 25$ heraus.

$y = \frac{- 5 \cdot 5}{- 15} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 15$ heraus.

$y = \frac{- 5 \cdot 5}{- 5 \cdot 3} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 5 \cdot 5}{- 5 \cdot 3} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5}{3} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$y = \frac{5}{3} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$y = \frac{5}{3} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $- 15$ .

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 z$ heraus.

$y = \frac{5}{3} + \frac{- 5 z}{- 15}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 15$ heraus.

$y = \frac{5}{3} + \frac{- 5 z}{- 5 \cdot 3}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5}{3} + \frac{- 5 z}{- 5 \cdot 3}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 3.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$- 6 + 3 y - z = - 1$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{5}{3} + \frac{z}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $- 6 + 3 y - z = - 1$ durch $\frac{5}{3} + \frac{z}{3}$ .

$- 6 + 3 (\frac{5}{3} + \frac{z}{3}) - z = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 6 + 3 (\frac{5}{3} + \frac{z}{3}) - z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 + 3 (\frac{5}{3}) + 3 (\frac{z}{3}) - z = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 + 3 (\frac{5}{3}) + 3 (\frac{z}{3}) - z = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 6 + 5 + 3 (\frac{z}{3}) - z = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

$- 6 + 5 + 3 (\frac{z}{3}) - z = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 + 5 + 3 (\frac{z}{3}) - z = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 6 + 5 + z - z = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

$- 6 + 5 + z - z = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

$- 6 + 5 + z - z = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 6 + 5 + z - z$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Subtrahiere $z$ von $z$ .

$- 6 + 5 + 0 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Addiere $- 6 + 5$ und $0$ .

$- 6 + 5 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

$- 6 + 5 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 6$ und $5$ .

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - 2 y + z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $y$ in $x = 3 - 2 y + z$ durch $\frac{5}{3} + \frac{z}{3}$ .

$x = 3 - 2 (\frac{5}{3} + \frac{z}{3}) + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $3 - 2 (\frac{5}{3} + \frac{z}{3}) + z$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 3 - 2 (\frac{5}{3}) - 2 \frac{z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.1.2

Multipliziere $- 2 (\frac{5}{3})$ .

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{3}$ .

$x = 3 + \frac{- 2 \cdot 5}{3} - 2 \frac{z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$x = 3 + \frac{- 10}{3} - 2 \frac{z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 + \frac{- 10}{3} - 2 \frac{z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{z}{3}$ .

$x = 3 + \frac{- 10}{3} + \frac{- 2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 3 - \frac{10}{3} + \frac{- 2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 3 - \frac{10}{3} - \frac{2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - \frac{10}{3} - \frac{2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = 3 - \frac{10}{3} - \frac{2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3} - \frac{2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3} - \frac{2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 \cdot 3 - 10}{3} - \frac{2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{9 - 10}{3} - \frac{2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.5.2

Subtrahiere $10$ von $9$ .

$x = \frac{- 1}{3} - \frac{2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = \frac{- 1}{3} - \frac{2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3} - \frac{2 z}{3} + z$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.7

Um $z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{1}{3} - \frac{2 z}{3} + z \cdot \frac{3}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1.8.1

Kombiniere $z$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{1}{3} - \frac{2 z}{3} + \frac{z \cdot 3}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = - \frac{1}{3} + \frac{- 2 z + z \cdot 3}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 1 - 2 z + z \cdot 3}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = \frac{- 1 - 2 z + z \cdot 3}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $z$ .

$x = \frac{- 1 - 2 z + 3 z}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1.10.1

Addiere $- 2 z$ und $3 z$ .

$x = \frac{- 1 + z}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.10.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + z}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.10.3

Faktorisiere $- 1$ aus $z$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- z)}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.10.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- z)$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - z)}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 4.4.1.10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - z}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = - \frac{1 - z}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = - \frac{1 - z}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = - \frac{1 - z}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

$x = - \frac{1 - z}{3}$

$- 1 = - 1$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$

Schritt 5

Entferne alle Gleichungen aus dem System, die immer erfüllt sind.

$x = - \frac{1 - z}{3}$

$y = \frac{5}{3} + \frac{z}{3}$