Algebra Beispiele

$y = - 7 x^{2} - 9 x + 6$ $y = \frac{1}{2} x + 11$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$- 7 x^{2} - 9 x + 6 = \frac{1}{2} x + 11$

Schritt 2

Löse $- 7 x^{2} - 9 x + 6 = \frac{1}{2} x + 11$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$- 7 x^{2} - 9 x + 6 = \frac{x}{2} + 11$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $\frac{x}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 x^{2} - 9 x + 6 - \frac{x}{2} = 11$

Schritt 2.2.2

Um $- 9 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 7 x^{2} - 9 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + 6 = 11$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- 9 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 7 x^{2} + \frac{- 9 x \cdot 2}{2} - \frac{x}{2} + 6 = 11$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 7 x^{2} + \frac{- 9 x \cdot 2 - x}{2} + 6 = 11$

Schritt 2.2.5

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.5.1

Schreibe $- 7 x^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 7 x^{2}}{1} + \frac{- 9 x \cdot 2 - x}{2} + 6 = 11$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{- 7 x^{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 9 x \cdot 2 - x}{2} + 6 = 11$

Schritt 2.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{- 7 x^{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 9 x \cdot 2 - x}{2} + 6 = 11$

Schritt 2.2.5.4

Schreibe $6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 7 x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 9 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{6}{1} = 11$

Schritt 2.2.5.5

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 9 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{2}{2} = 11$

Schritt 2.2.5.6

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 9 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2} = 11$

Schritt 2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 7 x^{2} \cdot 2 - 9 x \cdot 2 - x + 6 \cdot 2}{2} = 11$

Schritt 2.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{- 14 x^{2} - 9 x \cdot 2 - x + 6 \cdot 2}{2} = 11$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{- 14 x^{2} - 18 x - x + 6 \cdot 2}{2} = 11$

Schritt 2.2.7.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{- 14 x^{2} - 18 x - x + 12}{2} = 11$

Schritt 2.2.8

Subtrahiere $x$ von $- 18 x$ .

$\frac{- 14 x^{2} - 19 x + 12}{2} = 11$

Schritt 2.2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 14 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (14 x^{2}) - 19 x + 12}{2} = 11$

Schritt 2.2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 19 x$ heraus.

$\frac{- (14 x^{2}) - (19 x) + 12}{2} = 11$

Schritt 2.2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (14 x^{2}) - (19 x)$ heraus.

$\frac{- (14 x^{2} + 19 x) + 12}{2} = 11$

Schritt 2.2.12

Schreibe $12$ als $- 1 (- 12)$ um.

$\frac{- (14 x^{2} + 19 x) - 1 (- 12)}{2} = 11$

Schritt 2.2.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (14 x^{2} + 19 x) - 1 (- 12)$ heraus.

$\frac{- (14 x^{2} + 19 x - 12)}{2} = 11$

Schritt 2.2.14

Schreibe $- (14 x^{2} + 19 x - 12)$ als $- 1 (14 x^{2} + 19 x - 12)$ um.

$\frac{- 1 (14 x^{2} + 19 x - 12)}{2} = 11$

Schritt 2.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{14 x^{2} + 19 x - 12}{2} = 11$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{14 x^{2} + 19 x - 12}{2}) = - 2 \cdot 11$

Schritt 2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{14 x^{2} + 19 x - 12}{2})$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{14 x^{2} + 19 x - 12}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- (14 x^{2} + 19 x - 12)}{2} = - 2 \cdot 11$

Schritt 2.4.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- (14 x^{2} + 19 x - 12)}{2} = - 2 \cdot 11$

Schritt 2.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- (14 x^{2} + 19 x - 12)}{2} = - 2 \cdot 11$

Schritt 2.4.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - (14 x^{2} + 19 x - 12) = - 2 \cdot 11$

Schritt 2.4.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (14 x^{2} + 19 x - 12) = - 2 \cdot 11$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $14 x^{2} + 19 x - 12$ mit $1$ .

$14 x^{2} + 19 x - 12 = - 2 \cdot 11$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $11$ .

$14 x^{2} + 19 x - 12 = - 22$

Schritt 2.5

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $22$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$14 x^{2} + 19 x - 12 + 22 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $- 12$ und $22$ .

$14 x^{2} + 19 x + 10 = 0$

Schritt 2.6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = \frac{1}{2} x + 11$

Schritt 2.7

Setze die Werte $a = 14$ , $b = 19$ und $c = 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (14 \cdot 10)}}{2 \cdot 14} + y = \frac{1}{2} x + 11$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 14 \cdot 10}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 14 \cdot 10$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $14$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 56 \cdot 10}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 56$ mit $10$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 560}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.8.1.3

Subtrahiere $560$ von $361$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.8.1.4

Schreibe $- 199$ als $- 1 (199)$ um.

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 1 \cdot 199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (199)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{199}$ um.

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 19 \pm i \sqrt{199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{- 19 \pm i \sqrt{199}}{28}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 14 \cdot 10}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 14 \cdot 10$ .

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Schritt 2.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $14$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 56 \cdot 10}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 56$ mit $10$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 560}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.9.1.3

Subtrahiere $560$ von $361$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.9.1.4

Schreibe $- 199$ als $- 1 (199)$ um.

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 1 \cdot 199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.9.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (199)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{199}$ um.

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.9.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 19 \pm i \sqrt{199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{- 19 \pm i \sqrt{199}}{28}$

Schritt 2.9.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 19 + i \sqrt{199}}{28}$

Schritt 2.9.4

Schreibe $- 19$ als $- 1 (19)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 19 + i \sqrt{199}}{28}$

Schritt 2.9.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{199}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 19 - (- i \sqrt{199})}{28}$

Schritt 2.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (19) - (- i \sqrt{199})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (19 - i \sqrt{199})}{28}$

Schritt 2.9.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 14 \cdot 10}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 14 \cdot 10$ .

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Schritt 2.10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $14$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 56 \cdot 10}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.10.1.2.2

Mutltipliziere $- 56$ mit $10$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 560}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.10.1.3

Subtrahiere $560$ von $361$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.10.1.4

Schreibe $- 199$ als $- 1 (199)$ um.

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 1 \cdot 199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.10.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (199)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{199}$ um.

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.10.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 19 \pm i \sqrt{199}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{- 19 \pm i \sqrt{199}}{28}$

Schritt 2.10.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 19 - i \sqrt{199}}{28}$

Schritt 2.10.4

Schreibe $- 19$ als $- 1 (19)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 19 - i \sqrt{199}}{28}$

Schritt 2.10.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{199}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 19 - (i \sqrt{199})}{28}$

Schritt 2.10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (19) - (i \sqrt{199})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (19 + i \sqrt{199})}{28}$

Schritt 2.10.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}$

Schritt 2.11

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}, - \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = - \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}) + 11$

Schritt 3.2

Setze $- \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}$ für $x$ in $y = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}) + 11$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}) + 11$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (- 1 \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}) + 11$ .

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Schreibe $- 1 \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}$ als $- \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}$ um.

$y = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}) + 11$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{19 - i \sqrt{199}}{28})$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{19 - i \sqrt{199}}{28}$ .

$y = - \frac{19 - i \sqrt{199}}{2 \cdot 28} + 11$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $28$ .

$y = - \frac{19 - i \sqrt{199}}{56} + 11$

Schritt 3.2.2.2

Um $11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{56}{56}$ .

$y = - \frac{19 - i \sqrt{199}}{56} + 11 \cdot \frac{56}{56}$

Schritt 3.2.2.3

Kombiniere $11$ und $\frac{56}{56}$ .

$y = - \frac{19 - i \sqrt{199}}{56} + \frac{11 \cdot 56}{56}$

Schritt 3.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{597 + \sqrt{199} i}{56}$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = - \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}) + 11$

Schritt 4.2

Setze $- \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}$ für $x$ in $y = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}) + 11$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}) + 11$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (- 1 \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}) + 11$ .

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Schreibe $- 1 \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}$ als $- \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}$ um.

$y = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}) + 11$

Schritt 4.2.2.1.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{19 + i \sqrt{199}}{28})$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{19 + i \sqrt{199}}{28}$ .

$y = - \frac{19 + i \sqrt{199}}{2 \cdot 28} + 11$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $28$ .

$y = - \frac{19 + i \sqrt{199}}{56} + 11$

Schritt 4.2.2.2

Um $11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{56}{56}$ .

$y = - \frac{19 + i \sqrt{199}}{56} + 11 \cdot \frac{56}{56}$

Schritt 4.2.2.3

Kombiniere $11$ und $\frac{56}{56}$ .

$y = - \frac{19 + i \sqrt{199}}{56} + \frac{11 \cdot 56}{56}$

Schritt 4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{597 - i \sqrt{199}}{56}$

Schritt 5

Liste alle Lösungen auf.

$y = \frac{597 + \sqrt{199} i}{56}, x = - \frac{19 - i \sqrt{199}}{28}$

$y = \frac{597 - i \sqrt{199}}{56}, x = - \frac{19 + i \sqrt{199}}{28}$

Schritt 6