Algebra Beispiele

$\frac{2 x - 1}{6} = \frac{4 x + 1}{12} + \frac{2 x + 2}{2 x + 1}$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 x - 1}{6} = \frac{4 x + 1}{12} + \frac{2 (x) + 2}{2 x + 1}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 x - 1}{6} = \frac{4 x + 1}{12} + \frac{2 (x) + 2 (1)}{2 x + 1}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 x - 1}{6} = \frac{4 x + 1}{12} + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$6, 12, 2 x + 1$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

$6$ hat Faktoren von $2$ und $3$ .

$2 \cdot 3$

Schritt 2.4

Die Primfaktoren von $12$ sind $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 2.4.1

$12$ hat Faktoren von $2$ und $6$ .

$2 \cdot 6$

Schritt 2.4.2

$6$ hat Faktoren von $2$ und $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.6

Das kgV von $6, 12, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 2.7

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 3$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12$

Schritt 2.8

Der Teiler von $2 x + 1$ ist $2 x + 1$ selbst.

$(2 x + 1) = 2 x + 1$

$(2 x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Das kgV von $2 x + 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$2 x + 1$

Schritt 2.10

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$12 (2 x + 1)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 x - 1}{6} = \frac{4 x + 1}{12} + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1}$ mit $12 (2 x + 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 x - 1}{6} = \frac{4 x + 1}{12} + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1}$ mit $12 (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x - 1}{6} (12 (2 x + 1)) = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 \frac{2 x - 1}{6} (2 x + 1) = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$6 (2) \frac{2 x - 1}{6} (2 x + 1) = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \cdot 2 \frac{2 x - 1}{6} (2 x + 1) = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (2 x - 1) (2 x + 1) = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) (2 x + 1) = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 x + 2 \cdot - 1) (2 x + 1) = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(4 x - 2) (2 x + 1) = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(4 x - 2) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (2 x) + 4 x \cdot 1 - 2 (2 x + 1) = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (2 x) + 4 x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{2} + 4 x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$8 x^{2} + 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$8 x^{2} + 4 x - 4 x - 2 \cdot 1 = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$8 x^{2} + 4 x - 4 x - 2 = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$8 x^{2} + 0 - 2 = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.2.3.3

Addiere $8 x^{2}$ und $0$ .

$8 x^{2} - 2 = \frac{4 x + 1}{12} (12 (2 x + 1)) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{2} - 2 = 12 \frac{4 x + 1}{12} (2 x + 1) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{2} - 2 = 12 \frac{4 x + 1}{12} (2 x + 1) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{2} - 2 = (4 x + 1) (2 x + 1) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere $(4 x + 1) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} - 2 = 4 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} - 2 = 4 x (2 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1) + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} - 2 = 4 x (2 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{2} - 2 = 4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$8 x^{2} - 2 = 4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$8 x^{2} - 2 = 4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 4 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.4.1.5

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 1 + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.4.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.4.2

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 6 x + 1 + \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (12 (2 x + 1))$

Schritt 3.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 6 x + 1 + 12 \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} (2 x + 1)$

Schritt 3.3.1.6

Multipliziere $12 \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1}$ .

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Schritt 3.3.1.6.1

Kombiniere $12$ und $\frac{2 (x + 1)}{2 x + 1}$ .

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 6 x + 1 + \frac{12 (2 (x + 1))}{2 x + 1} (2 x + 1)$

Schritt 3.3.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 6 x + 1 + \frac{24 (x + 1)}{2 x + 1} (2 x + 1)$

Schritt 3.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 3.3.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 6 x + 1 + \frac{24 (x + 1)}{2 x + 1} (2 x + 1)$

Schritt 3.3.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 6 x + 1 + 24 (x + 1)$

Schritt 3.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 6 x + 1 + 24 x + 24 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.9

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 6 x + 1 + 24 x + 24$

Schritt 3.3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $6 x$ und $24 x$ .

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 30 x + 1 + 24$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $1$ und $24$ .

$8 x^{2} - 2 = 8 x^{2} + 30 x + 25$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$8 x^{2} + 30 x + 25 = 8 x^{2} - 2$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $8 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{2} + 30 x + 25 - 8 x^{2} = - 2$

Schritt 4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x^{2} + 30 x + 25 - 8 x^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$30 x + 25 + 0 = - 2$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $30 x + 25$ und $0$ .

$30 x + 25 = - 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$30 x = - 2 - 25$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $25$ von $- 2$ .

$30 x = - 27$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $30 x = - 27$ durch $30$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $30 x = - 27$ durch $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{- 27}{30}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{30 x}{30} = \frac{- 27}{30}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 27}{30}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $30$ .

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Schritt 4.4.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$x = \frac{3 (- 9)}{30}$

Schritt 4.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $30$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 10}$

Schritt 4.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 10}$

Schritt 4.4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 9}{10}$

Schritt 4.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{9}{10}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{9}{10}$

Dezimalform:

$x = - 0.9$