Algebra Beispiele

$\frac{2 y^{2} - 6 y - 20}{4 y + 12} \div \frac{y^{2} + 5 y + 6}{3 y^{2} + 18 y + 27}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{2 y^{2} - 6 y - 20}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 y^{2} - 6 y - 20$ und $4 y + 12$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (y^{2}) - 6 y - 20}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 y$ heraus.

$\frac{2 (y^{2}) + 2 (- 3 y) - 20}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (y^{2}) + 2 (- 3 y)$ heraus.

$\frac{2 (y^{2} - 3 y) - 20}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$\frac{2 (y^{2} - 3 y) + 2 \cdot - 10}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (y^{2} - 3 y) + 2 \cdot - 10$ heraus.

$\frac{2 (y^{2} - 3 y - 10)}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{2 (y^{2} - 3 y - 10)}{2 (2 y) + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 (y^{2} - 3 y - 10)}{2 (2 y) + 2 (6)} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 y) + 2 (6)$ heraus.

$\frac{2 (y^{2} - 3 y - 10)}{2 (2 y + 6)} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (y^{2} - 3 y - 10)}{2 (2 y + 6)} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 2.6.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} - 3 y - 10}{2 y + 6} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 3

Faktorisiere $y^{2} - 3 y - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 y + 6} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 4

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 6$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y) + 6} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 y + 2 \cdot 3} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 2 \cdot 3$ heraus.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2} + 18 y + 27$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2}) + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $18 y$ heraus.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2}) + 3 (6 y) + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 y^{2} + 3 (6 y) + 3 \cdot 9}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2} + 3 (6 y)$ heraus.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2} + 6 y) + 3 \cdot 9}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (y^{2} + 6 y) + 3 \cdot 9$ heraus.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2} + 6 y + 9)}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 5.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2} + 6 y + 3^{2})}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 5.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Schritt 5.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2} + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2})}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 3$ .

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 {(y + 3)}^{2}}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 6

Faktorisiere $y^{2} + 5 y + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 {(y + 3)}^{2}}{(y + 2) (y + 3)}$

Schritt 7

Kombinieren.

$\frac{(y - 5) (y + 2) (3 {(y + 3)}^{2})}{2 (y + 3) ((y + 2) (y + 3))}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y - 5) (y + 2) (3 {(y + 3)}^{2})}{2 (y + 3) ((y + 2) (y + 3))}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y - 5) (3 {(y + 3)}^{2})}{2 (y + 3) (y + 3)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(y + 3)}^{2}$ und $y + 3$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $y + 3$ aus $(y - 5) (3 {(y + 3)}^{2})$ heraus.

$\frac{(y + 3) ((y - 5) (3 (y + 3)))}{2 (y + 3) (y + 3)}$

Schritt 9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $y + 3$ aus $2 (y + 3) (y + 3)$ heraus.

$\frac{(y + 3) ((y - 5) (3 (y + 3)))}{(y + 3) (2 (y + 3))}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + 3) ((y - 5) (3 (y + 3)))}{(y + 3) (2 (y + 3))}$

Schritt 9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y - 5) (3 (y + 3))}{2 (y + 3)}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 3$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y - 5) (3 (y + 3))}{2 (y + 3)}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y - 5) \cdot (3)}{2}$

Schritt 11

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y - 5$ .

$\frac{3 (y - 5)}{2}$

Schritt 12

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 y + 3 \cdot - 5}{2}$

Schritt 13

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$\frac{3 y - 15}{2}$

Schritt 14

Zerlege den Bruch $\frac{3 y - 15}{2}$ in zwei Brüche.

$\frac{3 y}{2} + \frac{- 15}{2}$

Schritt 15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 y}{2} - \frac{15}{2}$