Algebra Beispiele

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} - \csc (t)$

Schritt 1

Schreibe $\csc (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} - \frac{1}{\sin (t)}$

Schritt 2

Um $\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} - \frac{1}{\sin (t)}$

Schritt 3

Um $- \frac{1}{\sin (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} - \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \cos (t)) \sin (t)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$ mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{(1 - \cos (t)) \sin (t)} - \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (t)}$ mit $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{(1 - \cos (t)) \sin (t)} - \frac{1 - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (t)) \sin (t)$ um.

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))} - \frac{1 - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (t) \sin (t) - (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $\sin (t) \sin (t)$ .

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Schritt 6.1.1

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (t) \sin (t) - (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (t) \sin^{1} (t) - (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (t)}^{1 + 1} - (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (t) - (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (t) - 1 \cdot 1 - - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (t) - 1 - - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.4

Multipliziere $- - \cos (t)$ .

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (t) - 1 + 1 \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (t) - 1 + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.5

Stelle $\sin^{2} (t)$ und $- 1$ um.

$\frac{- 1 + \sin^{2} (t) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (t) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (t)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (t)) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (t)) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.9

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (t))$ als $- (1 - \sin^{2} (t))$ um.

$\frac{- (1 - \sin^{2} (t)) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.10

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos^{2} (t) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.11

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $- \cos^{2} (t) + \cos (t)$ heraus.

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Schritt 6.11.1

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $- \cos^{2} (t)$ heraus.

$\frac{\cos (t) (- \cos (t)) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.11.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\cos (t) (- \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 6.11.3

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\cos (t) (- \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\cos (t) (- \cos (t) + 1)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \cos (t) + 1$ und $1 - \cos (t)$ .

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Schritt 7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Schritt 8

Wandle von $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ nach $\cot (t)$ um.

$\cot (t)$