Algebra Beispiele

${(\frac{2}{3})}^{5 x + 2} = {(\frac{3}{2})}^{2 x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2})$ durch Herausziehen von $5 x + 2$ aus dem Logarithmus.

$(5 x + 2) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{2}{3})$ als $\ln (2) - \ln (3)$ um.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Schritt 4

Zerlege $\ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$ durch Herausziehen von $2 x$ aus dem Logarithmus.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 5

Schreibe $\ln (\frac{3}{2})$ als $\ln (3) - \ln (2)$ um.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Schritt 6.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Schritt 6.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Schritt 6.1.3

Multipliziere $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x (\ln (2) - \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Schritt 6.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Schritt 6.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Schritt 6.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x \ln (2) + 5 \cdot - 1 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Schritt 6.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Schritt 6.2

Vereinfache $2 x (\ln (3) - \ln (2))$ .

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 x (- \ln (2))$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 \cdot - 1 x \ln (2)$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) - 2 x \ln (2)$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $2 x \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) = - 2 x \ln (2)$

Schritt 6.3.2

Addiere $2 x \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 2 x \ln (2) = 0$

Schritt 6.3.3

Addiere $5 x \ln (2)$ und $2 x \ln (2)$ .

$- 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $2 x \ln (3)$ von $- 5 x \ln (3)$ .

$2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Schritt 6.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $2 \ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2)$

Schritt 6.4.2

Addiere $2 \ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Schritt 6.5

Faktorisiere $7 x$ aus $- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2)$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $7 x$ aus $- 7 x \ln (3)$ heraus.

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x \ln (2)$ heraus.

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2)$ heraus.

$7 x (- 1 \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Schritt 6.6

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Schritt 6.7

Teile jeden Ausdruck in $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ durch $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ und vereinfache.

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Schritt 6.7.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ durch $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ .

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Schritt 6.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Schritt 6.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Schritt 6.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (3) + \ln (2)$ .

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Schritt 6.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Schritt 6.7.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Schritt 6.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Dezimalform:

$x = - 0.\overline{285714}$