Algebra Beispiele

$f (x) = 3^{x}$ und $g (x) = \log_{3} (x)$

Schritt 1

Exponentialfunktionen haben eine horizonale Asymptote. Die Gleichung der horizontalen Asymptoten ist $y = 0$ .

Horizontale Asymptote: $y = 0$

Schritt 2

Stelle $g (x) = \log_{3} (x)$ graphisch dar.

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Schritt 2.1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 2.1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$x = 0$

Schritt 2.1.2

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 0$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 0$

Schritt 2.2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \log_{3} (1)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Die logarithmische Basis $3$ von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 2.3

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \log_{3} (3)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (3) = 1$

Schritt 2.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 2.3.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$y = 1$

Schritt 2.4

Bestimme den Punkt bei $x = 9$ .

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Schritt 2.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = \log_{3} (9)$

Schritt 2.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.2.1

Die logarithmische Basis $3$ von $9$ ist $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{3} (9) = x$

Schritt 2.4.2.1.2

Schreibe $\log_{3} (9) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 9$

Schritt 2.4.2.1.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{2}$

Schritt 2.4.2.1.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 2$

Schritt 2.4.2.1.5

Die Variable $x$ ist gleich $2$ .

$f (9) = 2$

Schritt 2.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 2.4.3

Konvertiere $2$ nach Dezimal.

$y = 2$

Schritt 2.5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 0), (3, 1), (9, 2)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 9 & 2 \end{array}$

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 9 & 2 \end{array}$

Schritt 3

Stelle jeden Graphen im gleichen Koordinatensystem dar.

$f (x) = 3^{x}$

$g (x) = \log_{3} (x)$

Schritt 4