Algebra Beispiele

$\frac{2 x - 5}{x - 5} - 3 < 0$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{2 x - 5}{x - 5} - 3$ .

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Schritt 1.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{2 x - 5}{x - 5} - 3 \cdot \frac{x - 5}{x - 5} < 0$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{2 x - 5}{x - 5} + \frac{- 3 (x - 5)}{x - 5} < 0$

Schritt 1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x - 5 - 3 (x - 5)}{x - 5} < 0$

Schritt 1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 5 - 3 x - 3 \cdot - 5}{x - 5} < 0$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x - 5 - 3 x + 15}{x - 5} < 0$

Schritt 1.3.3

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$\frac{- x - 5 + 15}{x - 5} < 0$

Schritt 1.3.4

Addiere $- 5$ und $15$ .

$\frac{- x + 10}{x - 5} < 0$

Schritt 1.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 10}{x - 5} < 0$

Schritt 1.4.2

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 10)}{x - 5} < 0$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 10)$ heraus.

$\frac{- (x - 10)}{x - 5} < 0$

Schritt 1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.4.1

Schreibe $- (x - 10)$ als $- 1 (x - 10)$ um.

$\frac{- 1 (x - 10)}{x - 5} < 0$

Schritt 1.4.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 10}{x - 5} < 0$

Schritt 2

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 10 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 3

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 10$

$x = 5$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 10, 5$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x - 5}{x - 5} - 3$ .

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x - 5}{x - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 5 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 5$

$5 < x < 10$

$x > 10$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0) - 5}{(0) - 5} - 3 < 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 2$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $5 < x < 10$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $5 < x < 10$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (8) - 5}{(8) - 5} - 3 < 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0.\overline{6}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 10$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 10$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (12) - 5}{(12) - 5} - 3 < 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{285714}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 5$ Wahr

$5 < x < 10$ Falsch

$x > 10$ Wahr

$x < 5$ Wahr

$5 < x < 10$ Falsch

$x > 10$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 5$ oder $x > 10$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < 5 or x > 10$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 5) \cup (10, \infty)$

Schritt 12