Algebra Beispiele

${(x - 2)}^{4} - {(y + 3)}^{4}$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 2)}^{4}$ als ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ um.

${({(x - 2)}^{2})}^{2} - {(y + 3)}^{4}$

Schritt 2

Schreibe ${(y + 3)}^{4}$ als ${({(y + 3)}^{2})}^{2}$ um.

${({(x - 2)}^{2})}^{2} - {({(y + 3)}^{2})}^{2}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(x - 2)}^{2}$ und $b = {(y + 3)}^{2}$ .

$({(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$((x - 2) (x - 2) + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x (x - 2) - 2 (x - 2) + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{2} - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$(x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$(x^{2} - 4 x + 4 + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.4

Schreibe ${(y + 3)}^{2}$ als $(y + 3) (y + 3)$ um.

$(x^{2} - 4 x + 4 + (y + 3) (y + 3)) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.5

Multipliziere $(y + 3) (y + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 4 x + 4 + y (y + 3) + 3 (y + 3)) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3)) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.6.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$(x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 3 y + 3 y + 3 \cdot 3) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$(x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 3 y + 3 y + 9) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.6.2

Addiere $3 y$ und $3 y$ .

$(x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 6 y + 9) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.7

Addiere $4$ und $9$ .

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Schritt 4.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x - 2$ und $b = y + 3$ .

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x - 2 + y + 3) (x - 2 - (y + 3)))$

Schritt 4.9

Faktorisiere.

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Schritt 4.9.1

Vereinfache.

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Schritt 4.9.1.1

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x - 2 + y + 3) (x - 2 - (y + 3)))$

Schritt 4.9.1.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x + y + 1) (x - 2 - (y + 3)))$

Schritt 4.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x + y + 1) (x - 2 - y - 1 \cdot 3))$

Schritt 4.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x + y + 1) (x - 2 - y - 3))$

Schritt 4.9.1.5

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x + y + 1) (x - y - 5))$

Schritt 4.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) (x + y + 1) (x - y - 5)$