Algebra Beispiele

$\frac{x}{x - 2} < 3 - \frac{2}{x - 2}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{x - 2} - 3 < - \frac{2}{x - 2}$

Schritt 1.2

Addiere $\frac{2}{x - 2}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{x - 2} - 3 + \frac{2}{x - 2} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{x - 2} - 3 + \frac{2}{x - 2}$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{x}{x - 2} + \frac{- 3}{1} + \frac{2}{x - 2} < 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2}{x - 2} < 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2} + \frac{2}{x - 2} < 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3 (x - 2) + 2}{x - 2} < 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 3 x - 3 \cdot - 2 + 2}{x - 2} < 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\frac{x - 3 x + 6 + 2}{x - 2} < 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$\frac{- 2 x + 6 + 2}{x - 2} < 0$

Schritt 2.5

Addiere $6$ und $2$ .

$\frac{- 2 x + 8}{x - 2} < 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 8$ heraus.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 8}{x - 2} < 0$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{x - 2} < 0$

Schritt 2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (4)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 4)}{x - 2} < 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) + 4)}{x - 2} < 0$

Schritt 2.8

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{x - 2} < 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{2 (- (x - 4))}{x - 2} < 0$

Schritt 2.10

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{x - 2} < 0$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (x - 4)}{x - 2} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 4$

$x = 2$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 4, 2$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{2 (x - 4)}{x - 2}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{2 (x - 4)}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{0}{(0) - 2} < 3 - \frac{2}{(0) - 2}$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{(3) - 2} < 3 - \frac{2}{(3) - 2}$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $3$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{(6) - 2} < 3 - \frac{2}{(6) - 2}$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $1.5$ ist kleiner als die rechte Seite $2.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Wahr

$2 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < 2$ Wahr

$2 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 2$ oder $x > 4$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < 2 or x > 4$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (4, \infty)$

Schritt 13