Algebra Beispiele

$f (x) = x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Schritt 1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{6} - 13 {(- 1)}^{4} - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Schritt 1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$1 - 13 {(- 1)}^{4} - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Schritt 1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 13 \cdot 1 - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 13$ mit $1$ .

$1 - 13 - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $13$ von $1$ .

$- 12 - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Schritt 1.3.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 12 - 52 \cdot 1 + 64$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 52$ mit $1$ .

$- 12 - 52 + 64$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere $52$ von $- 12$ .

$- 64 + 64$

Schritt 1.3.9

Addiere $- 64$ und $64$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64}{x + 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{6}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{6} + x^{5}$

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{5} - x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x^{4} - 12 x^{3}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

Schritt 1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

Schritt 1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

Schritt 1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

Schritt 1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{3} + 12 x^{2}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

Schritt 1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

Schritt 1.5.21

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

Schritt 1.5.22

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 64 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

Schritt 1.5.23

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

Schritt 1.5.24

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 64 x^{2} - 64 x$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

Schritt 1.5.25

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

Schritt 1.5.26

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

Schritt 1.5.27

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $64 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

Schritt 1.5.28

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

$64 x$

$64$

Schritt 1.5.29

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $64 x + 64$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

$64 x$

$64$

Schritt 1.5.30

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

$64 x$

$64$

$0$

Schritt 1.5.31

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{5} - x^{4} - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64$

Schritt 1.6

Schreibe $x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = (x + 1) (x^{5} - x^{4} - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} x^{2} - x^{4} - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- x^{4}$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} x^{2} + x^{3} (- x) - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} x^{2} + x^{3} (- x) + x^{3} \cdot - 12 + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{2} + x^{3} (- x)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x^{2} - x) + x^{3} \cdot - 12 + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (x^{2} - x) + x^{3} \cdot - 12$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x^{2} - x - 12) + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Schritt 3

Faktorisiere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} ((x - 4) (x + 3)) + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Schritt 4

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2} - 64 x + 64$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2}) - 64 x + 64)$

Schritt 4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 64)$

Schritt 4.3

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16))$

Schritt 4.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 16 x) + 4 (16))$

Schritt 4.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x^{2} - 16 x) + 4 (16)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 16 x + 16))$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ und deren Summe gleich $b = - 16$ ist.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 16 x$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 16 x + 16))$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $- 16$ um als $- 4$ plus $- 12$

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} + (- 4 - 12) x + 16))$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 4 x - 12 x + 16))$

Schritt 5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 ((3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16))$

Schritt 5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4)))$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 4$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 ((3 x - 4) (x - 4)))$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x - 4) (x - 4))$

Schritt 6

Faktorisiere $x - 4$ aus $x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x - 4) (x - 4)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $x^{3} (x - 4) (x + 3)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} (x + 3)) + 4 (3 x - 4) (x - 4))$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x - 4$ aus $4 (3 x - 4) (x - 4)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} (x + 3)) + (x - 4) (4 (3 x - 4)))$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x - 4$ aus $(x - 4) (x^{3} (x + 3)) + (x - 4) (4 (3 x - 4))$ heraus.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} (x + 3) + 4 (3 x - 4)))$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Schritt 8

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 8.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Schritt 8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Schritt 8.2

Addiere $3$ und $1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Schritt 9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 4 (3 x - 4)))$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 4 (3 x) + 4 \cdot - 4))$

Schritt 11

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 12 x + 4 \cdot - 4))$

Schritt 12

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 12 x - 16))$

Schritt 13

Faktorisiere.

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Schritt 13.1

Faktorisiere.

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Schritt 13.1.1

Schreibe $x^{4} + 3 x^{3} + 12 x - 16$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 13.1.1.1

Gruppiere die Terme um.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} - 16 + 3 x^{3} + 12 x))$

Schritt 13.1.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ({(x^{2})}^{2} - 16 + 3 x^{3} + 12 x))$

Schritt 13.1.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2} + 3 x^{3} + 12 x))$

Schritt 13.1.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4) + 3 x^{3} + 12 x))$

Schritt 13.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{3} + 12 x))$

Schritt 13.1.1.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 13.1.1.5.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{3} + 12 x))$

Schritt 13.1.1.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x^{3} + 12 x))$

Schritt 13.1.1.6

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{3} + 12 x$ heraus.

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Schritt 13.1.1.6.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2}) + 12 x))$

Schritt 13.1.1.6.2

Faktorisiere $3 x$ aus $12 x$ heraus.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2}) + 3 x (4)))$

Schritt 13.1.1.6.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x^{2}) + 3 x (4)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2} + 4)))$

Schritt 13.1.1.7

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2} + 4)$ heraus.

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Schritt 13.1.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + 3 x (x^{2} + 4)))$

Schritt 13.1.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $3 x (x^{2} + 4)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 4) (3 x)))$

Schritt 13.1.1.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 4) (3 x)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2) + 3 x)))$

Schritt 13.1.1.8

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.1.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x (x - 2) + 2 (x - 2) + 3 x)))$

Schritt 13.1.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) + 3 x)))$

Schritt 13.1.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Schritt 13.1.1.9

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 13.1.1.9.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Schritt 13.1.1.9.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Schritt 13.1.1.9.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Schritt 13.1.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.10.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Schritt 13.1.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4 + 3 x)))$

Schritt 13.1.1.11

Stelle die Terme um.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} + 3 x - 4)))$

Schritt 13.1.1.12

Faktorisiere.

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Schritt 13.1.1.12.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 13.1.1.12.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 13.1.1.12.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x - 1) (x + 4))))$

Schritt 13.1.1.12.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x - 1) (x + 4)))$

Schritt 13.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{2} + 4) (x - 1) (x + 4))$

Schritt 13.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x + 1) (x - 4) (x^{2} + 4) (x - 1) (x + 4)$