Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{3}{- x - 1} + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3}{- x - 1} + 1$ als Gleichung.

$y = \frac{3}{- x - 1} + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3}{- y - 1} + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{- y - 1} + 1 = x$ um.

$\frac{3}{- y - 1} + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3}{- y - 1} = x - 1$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$- y - 1, 1, 1$

Schritt 3.3.2

Entferne die Klammern.

$- y - 1, 1, 1$

Schritt 3.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$- y - 1$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{- y - 1} = x - 1$ mit $- y - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{- y - 1} = x - 1$ mit $- y - 1$ .

$\frac{3}{- y - 1} (- y - 1) = x (- y - 1) - (- y - 1)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{- y - 1}$ mit $- y - 1$ .

$\frac{3 (- y - 1)}{- y - 1} = x (- y - 1) - (- y - 1)$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y - 1$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- y - 1)}{- y - 1} = x (- y - 1) - (- y - 1)$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 = x (- y - 1) - (- y - 1)$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 = x (- y) + x \cdot - 1 - (- y - 1)$

Schritt 3.4.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 = - x y + x \cdot - 1 - (- y - 1)$

Schritt 3.4.3.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 = - x y - 1 \cdot x - (- y - 1)$

Schritt 3.4.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$3 = - x y - x - (- y - 1)$

Schritt 3.4.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$3 = - x y - x - - y - - 1$

Schritt 3.4.3.1.6

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 3.4.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 = - x y - x + 1 y - - 1$

Schritt 3.4.3.1.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 = - x y - x + y - - 1$

Schritt 3.4.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 = - x y - x + y + 1$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x y - x + y + 1 = 3$ um.

$- x y - x + y + 1 = 3$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y + y + 1 = 3 + x$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y + y = 3 + x - 1$

Schritt 3.5.2.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$- x y + y = x + 2$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $- x y + y$ heraus.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y (- x) + y = x + 2$

Schritt 3.5.3.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y (- x) + y = x + 2$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y (- x) + y \cdot 1 = x + 2$

Schritt 3.5.3.4

Faktorisiere $y$ aus $y (- x) + y \cdot 1$ heraus.

$y (- x + 1) = x + 2$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- x + 1) = x + 2$ durch $- x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- x + 1) = x + 2$ durch $- x + 1$ .

$\frac{y (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{x}{- x + 1} + \frac{2}{- x + 1}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + 1$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{x}{- x + 1} + \frac{2}{- x + 1}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{- x + 1} + \frac{2}{- x + 1}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x + 2}{- x + 1}$

Schritt 3.5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{x + 2}{- (x) + 1}$

Schritt 3.5.4.3.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y = \frac{x + 2}{- (x) - 1 (- 1)}$

Schritt 3.5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{x + 2}{- (x - 1)}$

Schritt 3.5.4.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 3.5.4.3.5.1

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$y = \frac{x + 2}{- 1 (x - 1)}$

Schritt 3.5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x + 2}{x - 1}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x + 2}{x - 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x + 2}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3}{- x - 1} + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{(\frac{3}{- x - 1} + 1) + 2}{(\frac{3}{- x - 1} + 1) - 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{3}{- x - 1} + \frac{- x - 1}{- x - 1} + 2}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{3 - x - 1}{- x - 1} + 2}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- x - 1}{- x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{3 - x - 1}{- x - 1} + \frac{2 (- x - 1)}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{3 - x - 1 + 2 (- x - 1)}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{- x + 2 (- x - 1) + 3 - 1}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.6

Schreibe $\frac{- x + 2 (- x - 1) + 3 - 1}{- x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{- x + 2 (- x) + 2 \cdot - 1 + 3 - 1}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{- x - 2 x + 2 \cdot - 1 + 3 - 1}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{- x - 2 x - 2 + 3 - 1}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.6.4

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{- 3 x - 2 + 3 - 1}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.6.5

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{- 3 x + 1 - 1}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.6.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{- 3 x + 0}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.6.7

Addiere $- 3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{\frac{- 3 x}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1} + \frac{- x - 1}{- x - 1} - 1}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{3 - x - 1}{- x - 1} - 1}$

Schritt 5.2.4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- x - 1}{- x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{3 - x - 1}{- x - 1} - 1 \cdot \frac{- x - 1}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{- x - 1}{- x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{3 - x - 1}{- x - 1} + \frac{- (- x - 1)}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{3 - x - 1 - (- x - 1)}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.4.6

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{- x + 3 - 1 - (- x - 1)}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.4.7

Schreibe $\frac{- x + 3 - 1 - (- x - 1)}{- x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{- x + 3 - 1 + x + 1}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.4.7.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.4.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{- x + 3 - 1 + 1 x + 1}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.4.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{- x + 3 - 1 + x + 1}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.4.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{- x + 3 - 1 + x + 1}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.4.7.4

Addiere $- x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{0 + 3 - 1 + 1}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.4.7.5

Addiere $0$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{3 - 1 + 1}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.4.7.6

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{2 + 1}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.4.7.7

Addiere $2$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{- \frac{3 x}{- x - 1}}{\frac{3}{- x - 1}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (- \frac{3 x}{- x - 1} \cdot \frac{- x - 1}{3})$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x}{- x - 1}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{- 3 x}{- x - 1} \cdot \frac{- x - 1}{3})$

Schritt 5.2.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{3 (- x)}{- x - 1} \cdot \frac{- x - 1}{3})$

Schritt 5.2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{3 (- x)}{- x - 1} \cdot \frac{- x - 1}{3})$

Schritt 5.2.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{- x}{- x - 1} \cdot (- x - 1))$

Schritt 5.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (- \frac{x}{- x - 1} \cdot (- x - 1))$

Schritt 5.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (- \frac{x}{- x - 1} \cdot (- x) - \frac{x}{- x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 5.2.9

Multipliziere $- \frac{x}{- x - 1} (- x)$ .

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Schritt 5.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (1 (\frac{x}{- x - 1}) \cdot x - \frac{x}{- x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 5.2.9.2

Mutltipliziere $\frac{x}{- x - 1}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{x}{- x - 1} \cdot x - \frac{x}{- x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 5.2.9.3

Kombiniere $\frac{x}{- x - 1}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{x \cdot x}{- x - 1} - \frac{x}{- x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 5.2.9.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{x \cdot x}{- x - 1} - \frac{x}{- x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 5.2.9.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{x \cdot x}{- x - 1} - \frac{x}{- x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 5.2.9.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{x^{1 + 1}}{- x - 1} - \frac{x}{- x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 5.2.9.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{x^{2}}{- x - 1} - \frac{x}{- x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 5.2.10

Multipliziere $- \frac{x}{- x - 1} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{x^{2}}{- x - 1} + 1 (\frac{x}{- x - 1}))$

Schritt 5.2.10.2

Mutltipliziere $\frac{x}{- x - 1}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (\frac{x^{2}}{- x - 1} + \frac{x}{- x - 1})$

Schritt 5.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{x^{2} + x}{- x - 1}$

Schritt 5.2.12

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 5.2.12.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{x \cdot x + x}{- x - 1}$

Schritt 5.2.12.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{x \cdot x + x}{- x - 1}$

Schritt 5.2.12.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{x \cdot x + x \cdot 1}{- x - 1}$

Schritt 5.2.12.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{x (x + 1)}{- x - 1}$

Schritt 5.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 1$ und $- x - 1$ .

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Schritt 5.2.13.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{x (- 1 (- x) + 1)}{- x - 1}$

Schritt 5.2.13.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{x (- 1 (- x) - 1 \cdot - 1)}{- x - 1}$

Schritt 5.2.13.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{x (- 1 (- x - 1))}{- x - 1}$

Schritt 5.2.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - \frac{x (- 1 (- x - 1))}{- x - 1}$

Schritt 5.2.13.5

Dividiere $x \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (x \cdot (- 1))$

Schritt 5.2.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.14.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = - (- 1 x)$

Schritt 5.2.14.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f^{- 1} (\frac{3}{- x - 1} + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{x + 2}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{- (- \frac{x + 2}{x - 1}) - 1} + 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- - \frac{x + 2}{x - 1} - 1$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Versetze die Klammern.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{1 (\frac{x + 2}{x - 1}) - 1} + 1$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- - 1 \frac{x + 2}{x - 1}$ heraus.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{\frac{x + 2}{x - 1} - 1} + 1$

Schritt 5.3.3.1.1.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{\frac{x + 2}{x - 1} - 1 \cdot 1} + 1$

Schritt 5.3.3.1.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- - \frac{x + 2}{x - 1} - 1 (1)$ heraus.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{- (- \frac{x + 2}{x - 1} + 1)} + 1$

Schritt 5.3.3.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{- (- \frac{x + 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1})} + 1$

Schritt 5.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{- \frac{- (x + 2) + x - 1}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.1.4

Stelle die Terme um.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{- \frac{x - 1 - (x + 2)}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.1.5

Schreibe $\frac{x - 1 - (x + 2)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{- \frac{x - 1 - x - 1 \cdot 2}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{- \frac{x - 1 - x - 2}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.1.5.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{- \frac{0 - 1 - 2}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.1.5.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{- \frac{- 1 - 2}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.1.5.5

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{- \frac{- 3}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{1 (\frac{3}{x - 1})} + 1$

Schritt 5.3.3.1.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.3.1.7.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.1.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{1 (\frac{3}{x - 1})} + 1$

Schritt 5.3.3.1.7.3

Mutltipliziere $\frac{3}{x - 1}$ mit $1$ .

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{x + 2}{x - 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x + 2}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3}{- x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x + 2}{x - 1}$