Algebra Beispiele

$g (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = {(\frac{1}{3})}^{x} - 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{1}{3})}^{x} - 1 = 0$ um.

${(\frac{1}{3})}^{x} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{1^{x}}{3^{x}} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3^{x}} - 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{3^{x}} = 1$

Schritt 1.2.4

Multipliziere beide Seiten mit $3^{x}$ .

$\frac{1}{3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 \cdot 3^{x}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3^{x}$ .

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Schritt 1.2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 \cdot 3^{x}$

Schritt 1.2.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 1 \cdot 3^{x}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Mutltipliziere $3^{x}$ mit $1$ .

$1 = 3^{x}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 1$ um.

$3^{x} = 1$

Schritt 1.2.6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Schritt 1.2.6.3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 1.2.6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Schritt 1.2.6.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 1.2.6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 1.2.6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 1.2.6.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 1.2.6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.5.3.1

Dividiere $0$ durch $\ln (3)$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(\frac{1}{3})}^{0} - 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = {(\frac{1}{3})}^{0} - 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache ${(\frac{1}{3})}^{0} - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$y = \frac{1^{0}}{3^{0}} - 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = \frac{1}{3^{0}} - 1$

Schritt 2.2.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = \frac{1}{1} - 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Dividiere $1$ durch $1$ .

$y = 1 - 1$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4