Algebra Beispiele

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 2

Um $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ um.

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2} (x - 1) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} (x - 1) - x^{3}$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} (x - 1)$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 (x - 1) - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (3 x + 3 \cdot - 1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x - 3 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 6

Um $- \frac{2 x}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{x - 1}$ mit $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (2 x - 3)$ heraus.

$\frac{x (x (2 x - 3)) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x (x^{2} + x + 1)$ heraus.

$\frac{x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))$ heraus.

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.4

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x (2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{x (2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x (- 3 x + 0 - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.9

Addiere $- 3 x$ und $0$ .

$\frac{x (- 3 x - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 8.10

Subtrahiere $2 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{x (- 5 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{x (- (5 x) - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 9.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{x (- (5 x) - 1 (2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{x (- (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

Schreibe $- (5 x + 2)$ als $- 1 (5 x + 2)$ um.

$\frac{x (- 1 (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 9.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (5 x + 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$