Algebra Beispiele

${(\frac{49}{81})}^{x + 1} \geq \frac{9}{7}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (\frac{49}{81}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (\frac{49}{81})$ als $\ln (49) - \ln (81)$ um.

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (81)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (81)$ als $\ln (3^{4})$ um.

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (3^{4})) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 2.4

Zerlege $\ln (3^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) (\ln (49) - (4 \ln (3))) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ .

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Mutltipliziere $\ln (49)$ mit $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 4 \ln (3)$ mit $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 3.1.2.2

Stelle die Faktoren in $x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3)$ um.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) - \ln (\frac{9}{7}) = 0$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49}{\frac{9}{7}}) - 4 \ln (3) = 0$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49 (\frac{7}{9})) - 4 \ln (3) = 0$

Schritt 6.2

Multipliziere $49 (\frac{7}{9})$ .

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $49$ und $\frac{7}{9}$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49 \cdot 7}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $49$ mit $7$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $\ln (\frac{343}{9})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) - 4 \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9})$

Schritt 7.2

Addiere $4 \ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Schritt 8

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (49) - 4 x \ln (3)$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (49)$ heraus.

$x (\ln (49)) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Schritt 8.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3))$ heraus.

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ durch $\ln (49) - 4 \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ durch $\ln (49) - 4 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (49) - 4 \ln (3)$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (\frac{343}{9})$ heraus.

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $4 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Schritt 9.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Schritt 9.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.5.1

Schreibe $- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ als $- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ um.

$x = \frac{- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Schritt 9.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}]$

Schritt 12