حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $[0, 2 π)$

خطوة 1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$2 θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$2 θ = \frac{π}{6}$

خطوة 3

اقسِم كل حد في $2 θ = \frac{π}{6}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 θ = \frac{π}{6}$ على $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

خطوة 3.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.3.2

اضرب $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $\frac{π}{6}$ في $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$θ = \frac{π}{12}$

خطوة 4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{6}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 5.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 5.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 5.1.4

اضرب $6$ في $2$ .

$2 θ = \frac{12 π - π}{6}$

خطوة 5.1.5

اطرح $π$ من $12 π$ .

$2 θ = \frac{11 π}{6}$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $2 θ = \frac{11 π}{6}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $2 θ = \frac{11 π}{6}$ على $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

اضرب $\frac{11 π}{6}$ في $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{11 π}{6 \cdot 2}$

خطوة 5.2.3.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$θ = \frac{11 π}{12}$

خطوة 6

أوجِد فترة $\cos (2 θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 6.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 7

فترة دالة $\cos (2 θ)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

أوجِد قيم $n$ التي ينتج عنها وجود قيمة في الفترة $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{π}{12} + π (0)$

خطوة 8.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

اضرب $π$ في $0$ .

$\frac{π}{12} + 0$

خطوة 8.1.2.2

أضف $\frac{π}{12}$ و $0$ .

$\frac{π}{12}$

خطوة 8.1.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}$

خطوة 8.2

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{11 π}{12} + π (0)$

خطوة 8.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اضرب $π$ في $0$ .

$\frac{11 π}{12} + 0$

خطوة 8.2.2.2

أضف $\frac{11 π}{12}$ و $0$ .

$\frac{11 π}{12}$

خطوة 8.2.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{11 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}$

خطوة 8.3

عوّض بـ $1$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ .

$\frac{π}{12} + π (1)$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{π}{12} + π$

خطوة 8.3.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

خطوة 8.3.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.3.1

اجمع $π$ و $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

خطوة 8.3.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π + π \cdot 12}{12}$

خطوة 8.3.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.4.1

انقُل $12$ إلى يسار $π$ .

$\frac{π + 12 \cdot π}{12}$

خطوة 8.3.2.4.2

أضف $π$ و $12 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

خطوة 8.3.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{13 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

خطوة 8.4

عوّض بـ $1$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ .

$\frac{11 π}{12} + π (1)$

خطوة 8.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{11 π}{12} + π$

خطوة 8.4.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

خطوة 8.4.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.3.1

اجمع $π$ و $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

خطوة 8.4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{11 π + π \cdot 12}{12}$

خطوة 8.4.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.4.1

انقُل $12$ إلى يسار $π$ .

$\frac{11 π + 12 \cdot π}{12}$

خطوة 8.4.2.4.2

أضف $11 π$ و $12 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

خطوة 8.4.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{23 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{23 π}{12}$