حساب المثلثات الأمثلة

$y = \cos (x - \frac{π}{8})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x - \frac{π}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - \frac{π}{8}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - \frac{π}{8}$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{π}{8}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}]$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}])$

خطوة 1.2.3

بما أن $- \frac{π}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{8}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (1 + 0)$

خطوة 1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8}) \cdot 1$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8})$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x - \frac{π}{8})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{8})]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x - \frac{π}{8})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x - \frac{π}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - \frac{π}{8}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - \frac{π}{8}$ .

$f'' (x) = - (\cos (x - \frac{π}{8}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{π}{8}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}]$ .

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{8}))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{8}))$

خطوة 2.3.3

بما أن $- \frac{π}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{8}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (1 + 0)$

خطوة 2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) \cdot 1$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8})$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- \sin (x - \frac{π}{8})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (x - \frac{π}{8})}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 4.2.2

اقسِم $\sin (x - \frac{π}{8})$ على $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{8}) = \frac{0}{- 1}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$\sin (x - \frac{π}{8}) = 0$

خطوة 5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x - \frac{π}{8} = \arcsin (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x - \frac{π}{8} = 0$

خطوة 7

أضف $\frac{π}{8}$ إلى كلا المتعادلين.

$x = \frac{π}{8}$

خطوة 8

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x - \frac{π}{8} = π - 0$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اطرح $0$ من $π$ .

$x - \frac{π}{8} = π$

خطوة 9.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $\frac{π}{8}$ إلى كلا المتعادلين.

$x = π + \frac{π}{8}$

خطوة 9.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{π}{8}$

خطوة 9.2.3

اجمع $π$ و $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{π}{8}$

خطوة 9.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 8 + π}{8}$

خطوة 9.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

انقُل $8$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{8 \cdot π + π}{8}$

خطوة 9.2.5.2

أضف $8 π$ و $π$ .

$x = \frac{9 π}{8}$

خطوة 10

حل المعادلة $x - \frac{π}{8} = 0$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{9 π}{8}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{8}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \cos ((\frac{π}{8}) - \frac{π}{8})$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \cos (\frac{π - π}{8})$

خطوة 12.2

اطرح $π$ من $π$ .

$- \cos (\frac{0}{8})$

خطوة 12.3

اقسِم $0$ على $8$ .

$- \cos (0)$

خطوة 12.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 12.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 13

$x = \frac{π}{8}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{8}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{8}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{8}) = \cos ((\frac{π}{8}) - \frac{π}{8})$

خطوة 14.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{π - π}{8})$

خطوة 14.2.2

اطرح $π$ من $π$ .

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{0}{8})$

خطوة 14.2.3

اقسِم $0$ على $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = \cos (0)$

خطوة 14.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 1$

خطوة 14.2.5

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{9 π}{8}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \cos ((\frac{9 π}{8}) - \frac{π}{8})$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \cos (\frac{9 π - π}{8})$

خطوة 16.2

اطرح $π$ من $9 π$ .

$- \cos (\frac{8 π}{8})$

خطوة 16.3

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \cos (\frac{8 π}{8})$

خطوة 16.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$- \cos (π)$

خطوة 16.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- - \cos (0)$

خطوة 16.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

خطوة 16.6

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- - 1$

خطوة 16.6.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1$

خطوة 17

$x = \frac{9 π}{8}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{9 π}{8}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 18

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{9 π}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{9 π}{8}$ في العبارة.

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos ((\frac{9 π}{8}) - \frac{π}{8})$

خطوة 18.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{9 π - π}{8})$

خطوة 18.2.2

اطرح $π$ من $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{8 π}{8})$

خطوة 18.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{8 π}{8})$

خطوة 18.2.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (π)$

خطوة 18.2.4

$f (\frac{9 π}{8}) = - \cos (0)$

خطوة 18.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{9 π}{8}) = - 1 \cdot 1$

خطوة 18.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{9 π}{8}) = - 1$

خطوة 18.2.7

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 19

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \cos (x - \frac{π}{8})$ .

$(\frac{π}{8}, 1)$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{9 π}{8}, - 1)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 20