حساب المثلثات الأمثلة

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $- \frac{1}{3}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = - \frac{1}{3}$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة المتتالية الهندسية.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي $a_{1} = 1$ و $r = - \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

خطوة 4

اضرب ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ في $1$ .

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

خطوة 6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

خطوة 7

اجمع ${(- 1)}^{n - 1}$ و $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

خطوة 8

هذه هي القاعدة المُستخدمة لإيجاد مجموع أول $n$ من حدود المتتالية الهندسية. لإيجاد قيمته، أوجِد قيمتَي $r$ و $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

خطوة 9

استبدِل المتغيرات بالقيم المعروفة لإيجاد $S_{5}$ .

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

خطوة 10

اضرب $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ في $1$ .

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

خطوة 11

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

خطوة 11.2

اجمع.

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

خطوة 12

طبّق خاصية التوزيع.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3}$ إلى بسط الكسر.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ إلى بسط الكسر.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.3.2

أخرِج العامل $3$ من $3^{5}$ .

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.5

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.8

اضرب $3$ في $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.9

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.10

اجمع $- 3$ و $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.12.1

اضرب $- 3$ في $81$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.12.2

اطرح $243$ من $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 15

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

خطوة 15.2

اطرح $3$ من $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

خطوة 16

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

خطوة 17

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{244}{81}$ إلى بسط الكسر.

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

خطوة 17.2

أخرِج العامل $4$ من $- 244$ .

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

خطوة 17.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

خطوة 17.4

ألغِ العامل المشترك.

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

خطوة 17.5

أعِد كتابة العبارة.

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

خطوة 18

اضرب $\frac{- 61}{81}$ في $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

خطوة 19

اضرب $81$ في $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

خطوة 20

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$S_{5} = \frac{61}{81}$