حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}} = 0$

خطوة 1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sqrt{\sin (x)} = 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{\sin (x)}}^{2} = 0^{2}$

خطوة 2.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\sin (x)}$ في صورة ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 2.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 2.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin^{1} (x) = 0^{2}$

خطوة 2.2.2.1.2

بسّط.

$\sin (x) = 0^{2}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\sin (x) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.3.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 2.3.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 2.3.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.3.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.3.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.3.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.3.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.4

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.5

تحقق من صحة كل حل من الحلول بالتعويض بها في $\sqrt{\sin (x)} = 0$ وإيجاد الحل.

$x = 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{\sin (x)}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sin (x) < 0$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x < \arcsin (0)$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x < 0$

خطوة 4.3

$x = π - 0$

خطوة 4.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 4.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.7

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.8

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

خطوة 4.9

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 4.9.1.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (2) < 0$

خطوة 4.9.1.3

الطرف الأيسر $0.90929742$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 4.9.2

اختبر قيمة في الفترة $π < x < 2 π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.1

اختر قيمة من الفترة $π < x < 2 π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 5$

خطوة 4.9.2.2

استبدِل $x$ بـ $5$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (5) < 0$

خطوة 4.9.2.3

الطرف الأيسر $- 0.95892427$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 4.9.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$0 < x < π$ خطأ

$π < x < 2 π$ صحيحة

$0 < x < π$ خطأ

$π < x < 2 π$ صحيحة

خطوة 4.10

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

${x | x = 2 π n, x = π + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6