حساب المثلثات الأمثلة

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (x + 8)$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $\ln (x - 1)$ من كلا المتعادلين.

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) = - \ln (x + 8)$

خطوة 1.2

أضف $\ln (x + 8)$ إلى كلا المتعادلين.

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

خطوة 2

بسّط $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

خطوة 2.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1}) + \ln (x + 8) = 0$

خطوة 2.3

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1} (x + 8)) = 0$

خطوة 2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{1}{x - 1} (x + 8)) = 0$

خطوة 2.5

اضرب $\frac{x - 2}{x + 2}$ في $\frac{1}{x - 1}$ .

$\ln (\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)} (x + 8)) = 0$

خطوة 2.6

اضرب $\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)}$ في $x + 8$ .

$\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}) = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$(x + 2) (x - 1) = 0$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 4.2

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 4.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 4.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 4.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 4.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 2) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = - 2, 1$

خطوة 5

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)})$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 6.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 6.3

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$x = - 8$

خطوة 6.4

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 6.5

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 6.6

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = 2$

$x = - 8$

$x = - 2$

$x = 1$

خطوة 6.7

وحّد الحلول.

$x = 2, - 8, - 2, 1$

خطوة 6.8

أوجِد نطاق $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

$(x + 2) (x - 1) = 0$

خطوة 6.8.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 6.8.2.2

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.2.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 6.8.2.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 6.8.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 6.8.2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 6.8.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 2) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = - 2, 1$

خطوة 6.8.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 6.9

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

خطوة 6.10

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 8$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 8$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 10$

خطوة 6.10.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 10$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{((- 10) - 2) ((- 10) + 8)}{((- 10) + 2) ((- 10) - 1)} \leq 0$

خطوة 6.10.1.3

الطرف الأيسر $0.\overline{27}$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 6.10.2

اختبر قيمة في الفترة $- 8 < x < - 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 8 < x < - 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 5$

خطوة 6.10.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{((- 5) - 2) ((- 5) + 8)}{((- 5) + 2) ((- 5) - 1)} \leq 0$

خطوة 6.10.2.3

الطرف الأيسر $- 1.1\overline{6}$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 6.10.3

اختبر قيمة في الفترة $- 2 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.3.1

اختر قيمة من الفترة $- 2 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 6.10.3.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{((0) - 2) ((0) + 8)}{((0) + 2) ((0) - 1)} \leq 0$

خطوة 6.10.3.3

الطرف الأيسر $8$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 6.10.4

اختبر قيمة في الفترة $1 < x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.4.1

اختر قيمة من الفترة $1 < x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1.5$

خطوة 6.10.4.2

استبدِل $x$ بـ $1.5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{((1.5) - 2) ((1.5) + 8)}{((1.5) + 2) ((1.5) - 1)} \leq 0$

خطوة 6.10.4.3

الطرف الأيسر $- 2.\overline{714285}$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 6.10.5

اختبر قيمة في الفترة $x > 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 6.10.5.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{((4) - 2) ((4) + 8)}{((4) + 2) ((4) - 1)} \leq 0$

خطوة 6.10.5.3

الطرف الأيسر $1.\overline{3}$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 6.10.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 8$ خطأ

$- 8 < x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 1$ خطأ

$1 < x < 2$ صحيحة

$x > 2$ خطأ

$x < - 8$ خطأ

$- 8 < x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 1$ خطأ

$1 < x < 2$ صحيحة

$x > 2$ خطأ

خطوة 6.11

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 8 \leq x < - 2$ أو $1 < x \leq 2$

خطوة 7

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$- 8 \leq x \leq - 2, 1 \leq x \leq 2$

$[- 8, - 2] \cup [1, 2]$

خطوة 8