حساب المثلثات الأمثلة

${(1 + i)}^{4}$

خطوة 1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

خطوة 2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

خطوة 2.1.3

اضرب $4$ في $1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

خطوة 2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

خطوة 2.1.5

اضرب $6$ في $1$ .

$1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

خطوة 2.1.7

اضرب $6$ في $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

خطوة 2.1.8

اضرب $4$ في $1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4}$

خطوة 2.1.9

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

خطوة 2.1.10

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4}$

خطوة 2.1.11

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4}$

خطوة 2.1.12

اضرب $- 1$ في $4$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4}$

خطوة 2.1.13

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.13.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

خطوة 2.1.13.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

خطوة 2.1.13.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $6$ من $1$ .

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

خطوة 2.2.2

أضف $- 5$ و $1$ .

$- 4 + 4 i - 4 i$

خطوة 2.2.3

اطرح $4 i$ من $4 i$ .

$- 4 + 0$

خطوة 2.2.4

أضف $- 4$ و $0$ .

$- 4$

خطوة 3

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 5

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - 4$ و $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| z | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 6.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 16}$

خطوة 6.3

أضف $0$ و $16$ .

$| z | = \sqrt{16}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

خطوة 6.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 4$

خطوة 7

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 4})$

خطوة 8

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{0}{- 4}$ ينتج زاوية في الربع الثاني، إذن قيمة الزاوية تساوي $π$ .

$θ = π$

خطوة 9

عوّض بقيمتَي $θ = π$ و $| z | = 4$ .

$4 (\cos (π) + i \sin (π))$