حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (θ) = 2$ , $\sin (θ) < 0$

خطوة 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The tangent function is positive in the first and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

الحل في الربع الثالث.

خطوة 2

استخدِم تعريف المماس لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\tan (θ) = \frac{مقابل}{مجاور}$

خطوة 3

أوجِد وتر مثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الضلعين المجاور والمقابل معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$الوتر = \sqrt{{مقابل}^{2} + {مجاور}^{2}}$

خطوة 4

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$الوتر = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

الوتر $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

الوتر $= \sqrt{4 + 1}$

خطوة 5.3

أضف $4$ و $1$ .

الوتر $= \sqrt{5}$

خطوة 6

أوجِد قيمة الجيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد قيمة $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

خطوة 6.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sin (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{5}}$

خطوة 6.3

بسّط قيمة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

خطوة 6.3.2

اضرب $\frac{2}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

خطوة 6.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 6.3.3.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 6.3.3.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 6.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 6.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 6.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 7

أوجِد قيمة جيب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد قيمة $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

خطوة 7.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{5}}$

خطوة 7.3

بسّط قيمة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

خطوة 7.3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 7.3.3.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 7.3.3.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 7.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 7.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

خطوة 7.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

خطوة 8

أوجِد قيمة ظل التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

خطوة 8.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 8.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة القاطع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم تعريف القاطع لإيجاد قيمة $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

خطوة 9.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

خطوة 9.3

بسّط قيمة $\sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$\sec (θ) = - 1 \cdot \sqrt{5}$

خطوة 9.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \sqrt{5}$ بالصيغة $- \sqrt{5}$ .

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

خطوة 10

أوجِد قيمة قاطع التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استخدِم تعريف قاطع التمام لإيجاد قيمة $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

خطوة 10.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 2}$

خطوة 10.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

خطوة 11

هذا هو الحل لكل قيمة من القيم المثلثية.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$