ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} = 81 - 9 x^{2}$

خطوة 1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$

خطوة 2

بسّط $\pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $9$ من $81 - 9 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $9$ من $81$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9) - 9 x^{2}}$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $9$ من $- 9 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9) + 9 (- x^{2})}$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $9$ من $9 (9) + 9 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9 - x^{2})}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (3^{2} - x^{2})}$

خطوة 2.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3$ و $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{9 (3 + x) (3 - x)}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $9 (3 + x) (3 - x)$ بالصيغة $3^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} (3 + x) (3 - x)}$

خطوة 2.4.2

أضف الأقواس.

$y = \pm \sqrt{3^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

خطوة 2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

خطوة 3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

خطوة 3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

خطوة 3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

خطوة 4

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة العبارة $3 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن قيمة $3 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 + x = 0$

خطوة 5.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 5.3

عيّن قيمة العبارة $3 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة $3 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 - x = 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 3$

خطوة 5.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 5.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 5.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 5.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.3.1

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$x = 3$

خطوة 5.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 3, 3$

خطوة 5.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

خطوة 5.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 5.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

خطوة 5.6.1.3

الطرف الأيسر $- 27$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 3 < x < 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 3 < x < 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 5.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

خطوة 5.6.2.3

الطرف الأيسر $9$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 5.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 5.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

خطوة 5.6.3.3

الطرف الأيسر $- 27$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 3$ خطأ

$- 3 < x < 3$ صحيحة

$x > 3$ خطأ

$x < - 3$ خطأ

$- 3 < x < 3$ صحيحة

$x > 3$ خطأ

خطوة 5.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 3 \leq x \leq 3$

خطوة 6

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- 3, 3]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

خطوة 7

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- 9, 9]$

ترميز بناء المجموعات:

${y | - 9 \leq y \leq 9}$

خطوة 8

حدد النطاق والمدى.

النطاق: $[- 3, 3], {x | - 3 \leq x \leq 3}$

المدى: $[- 9, 9], {y | - 9 \leq y \leq 9}$

خطوة 9